1. Introduction

前面九讲里，我们研究过许多线性映射：$\mathcal{L}(V,W)$、$\mathcal{L}(V)$、投影、微分、商映射……它们的陪域各不相同。但如果追问一句”陪域是什么”，会发现一个特殊的答案特别值得关注：

陪域取成一维空间 $\mathbf{F}$ 本身。

乍看这像是”最简单因而最没内容”的情形——毕竟 $\dim \mathbf{F} = 1$。但恰恰相反，从 $V$ 到 $\mathbf{F}$ 的线性映射是全部线性映射里信息量最大、最灵活的一类。原因有三：

1. 它们是最”细”的探针。 一个映射 $V \to \mathbf{F}$ 的作用就是给每个向量赋一个数。有了”给数”的能力，我们就能测量向量：投影到某个方向、求值、积分、求导后取值……全都是这一类的。
2. 它们刻画了 $\dim V$ 个自由度。 由 $\dim \mathcal{L}(V,\mathbf{F}) = (\dim V)(\dim \mathbf{F}) = \dim V$（定理 3.72），这类映射构成的空间与原空间维数相同。这意味着”测量手段”的数量刚好足以完全确定一个向量——不多也不少。这正是 $V$ 与 $V'$ 同构的深层原因。
3. 它们让”反向”这件事变得自然。 给定 $T: V \to W$，我们无法自然地造出一个 $W \to V$ 的映射（那需要选基、求逆）；但取 $\mathbf{F}$ 值这件事天然可以反着来——先在 $W$ 上测量，再顺着 $T$ 拉回到 $V$。于是每个 $T$ 都自动诱导一个 $T' : W' \to V'$，免费、无选择、方向相反。

第三条是本讲的枢纽。lecture 9 我们用”商”把 $T$ 修成了单射；本讲我们要用”对偶”把 $T$ 翻过身来，从而得到一套全新的、几乎”零成本”的工具：

零化子 (annihilator) $U^0$ 把”$U$ 有多大”翻译成”$V'$ 中有多少测量手段在 $U$ 上失效”；而 $\dim U + \dim U^0 = \dim V$（定理 3.125）与 lecture 9 的 $\dim V/U = \dim V - \dim U$（命题 3.105）形式完全一致——这不是巧合，第 5 节会说明它们是同一件事的两面。

本讲的主线：

1. 线性泛函与对偶空间（第 2 节）：$V' = \mathcal{L}(V,\mathbf{F})$，且 $\dim V' = \dim V$。
2. 对偶基（第 3 节）：$V$ 的一组基免费给出 $V'$ 的一组基，而且是唯一确定的（不需要任何选择）。
3. 对偶映射（第 4 节）：$T \mapsto T'$ 是反转方向的线性操作，且 $(ST)' = T'S'$——反序出现了。
4. 零化子（第 5 节）：本讲的重中之重，$U^0$ 的几何意义与它对 $\text{range } T$、$\text{null } T$ 的刻画。
5. 矩阵视角（第 6 节）：$\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^t$，转置第一次有了定义之外的理由；并用它一举证明行秩 = 列秩。

2. Linear Functionals and the Dual Space (线性泛函与对偶空间)

2.1 Definition: linear functional (3.108)

Definition 3.108 (linear functional)
$V$ 上的线性泛函 (linear functional) 是从 $V$ 到 $\mathbf{F}$ 的线性映射。换言之，线性泛函就是 $\mathcal{L}(V,\mathbf{F})$ 的元素。

术语说明：英文 functional 来自”function of a function”的历史用法（变分法中泛函的输入是函数）。但在本课程中，泛函就是最普通的线性映射，只不过陪域被固定为 $\mathbf{F}$。给它一个专门的名字，是因为我们将反复使用这一类映射，而且它享有别的线性映射没有的性质（例如：由 定理 3.72，$\dim \mathcal{L}(V,\mathbf{F}) = \dim V$，而一般 $\dim \mathcal{L}(V,W) = (\dim V)(\dim W)$ 通常远大于 $\dim V$）。

2.2 Example: linear functionals (3.109)

Example 3.109 (linear functionals)\

• 定义 $\varphi : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}$ 为 $\varphi(x,y,z) = 4x - 5y + 2z$，则 $\varphi$ 是 $\mathbf{R}^3$ 上的线性泛函。
• 固定 $(c_1,\dots,c_n) \in \mathbf{F}^n$，定义 $\varphi : \mathbf{F}^n \to \mathbf{F}$ 为 $$\varphi(x_1,\dots,x_n) = c_1x_1 + \dots + c_nx_n,$$ 则 $\varphi$ 是 $\mathbf{F}^n$ 上的线性泛函。（事实上 $\mathbf{F}^n$ 上所有线性泛函都是这种形式——见下面的 Remark。）
• 定义 $\varphi : \mathcal{P}(\mathbf{R}) \to \mathbf{R}$ 为 $\varphi(p) = 3p''(5) + 7p(4)$，则 $\varphi$ 是 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 上的线性泛函。
• 定义 $\varphi : \mathcal{P}(\mathbf{R}) \to \mathbf{R}$ 为 $$\varphi(p) = \int_0^1 p$$ 对每个 $p \in \mathcal{P}(\mathbf{R})$ 成立，则 $\varphi$ 是 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 上的线性泛函。

从”测量”的角度读这四个例子：

• 第一个是加权测量（三个坐标各配一个系数）；
• 第二个说明”$\mathbf{F}^n$ 上的每个线性泛函都是坐标的一个线性组合”——这是第 3 节”对偶基”结论的具体形态；
• 第三个是**“先求导、后求值”的组合测量**（$p \mapsto p''(5)$ 与 $p \mapsto p(4)$ 各自线性，线性组合仍线性）；
• 第四个是积分型测量（积分是线性的）。

Remark（$\mathbf{F}^n$ 上的线性泛函长什么样）
设 $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^n, \mathbf{F})$，$e_1,\dots,e_n$ 是标准基，令 $c_j = \varphi(e_j)$。对任意 $x = (x_1,\dots,x_n) = \sum_j x_je_j$，由线性性

$$\varphi(x) = \sum_{j=1}^n x_j\varphi(e_j) = c_1x_1 + \dots + c_nx_n.$$

这说明没有”野生”的线性泛函——它们全由在一组基上的取值决定（这正是线性映射引理的另一种体现）。

2.3 Definition: dual space, $V'$ (3.110)

Definition 3.110 (dual space, $V'$)
$V$ 的对偶空间 (dual space)，记作 $V'$，是 $V$ 上所有线性泛函构成的向量空间。换言之，

$$V' = \mathcal{L}(V,\mathbf{F}).$$

用自然语言来说，$V'$ 给 $V$ 中的向量赋一个标量值，可以看成是对 $V$ 中向量的一种度量，一种抽象的“尺子”。

为什么用”对偶”这个名字？ dual 意为”成双的、对应的”。$V'$ 与 $V$ 是成对出现的：$V$ 是”向量”的世界，$V'$ 是”测量手段”的世界。两边的维数相同（定理 3.111），但它们的元素是两类完全不同的对象——一个是箭头，一个是”读数规则”。（这就像向量与余向量 (covector) 的区别；在物理与微分几何中，这个区分至关重要：速度是向量，梯度是余向量。）

2.4 Theorem: $\dim V' = \dim V$ (3.111)

Theorem 3.111 ($\dim V' = \dim V$)
设 $V$ 有限维。则 $V'$ 也有限维，且

$$\dim V' = \dim V.$$

证明：由 定理 3.72（$\dim \mathcal{L}(V,W) = (\dim V)(\dim W)$），取 $W = \mathbf{F}$：

$$\dim V' = \dim \mathcal{L}(V,\mathbf{F}) = (\dim V)(\dim \mathbf{F}) = (\dim V)\cdot 1 = \dim V. \qquad\blacksquare$$

这个公式把 lecture 8 的整个同构机器搬了过来：$V'$ 与 $V$ 维数相同，于是由 定理 3.70 它们同构。所以 $V'$ 并不神秘——它只是 $V$ 的”另一个副本”，只不过元素的解释不同。这一点是本讲所有维数计算的发动机。

但务必注意一个陷阱：$V \cong V'$ 成立，但需要选一组基才能把同构写出来（见第 3 节：对偶基依赖于原基）。这与 $V \cong V''$（习题 3.F.32，不需要任何选择，是”自然的”）形成鲜明对比。有同构与有自然同构是两件不同的事。

3. The Dual Basis (对偶基)

3.1 Definition: dual basis (3.112)

定理 3.111 说 $V'$ 与 $V$ 一样大，但它只给了”存在同构”，没有给出具体的同构。现在我们要一组自然生发的基——只要在 $V$ 中已经选了基，$V'$ 的基就自动出现了，不需要再做任何选择。

Definition 3.112 (dual basis)
若 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的一组基，则 $v_1,\dots,v_n$ 的对偶基 (dual basis) 是 $V'$ 中的列表 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$，其中每个 $\varphi_j$ 是 $V$ 上满足

$$\varphi_j(v_k) = \begin{cases} 1, & \text{若 } k = j,\\ 0, & \text{若 } k \neq j\end{cases}$$

的线性泛函。

为什么每个 $\varphi_j$ 都良定义？ 因为我们只规定了 $\varphi_j$ 在一组基上的取值，而由线性映射引理（定理 3.4），“在基上任意指定取值”总能唯一地延拓为一个线性映射。这里不需要任何额外的存在性论证——这正是选择”基上的取值”来定义泛函的高明之处。

把 $\varphi_j$ 想成”第 $j$ 个坐标的读取器”。它读 $v_j$ 得 $1$，读其他基向量得 $0$。形式化地，我们可以用一个漂亮的记号（Kronecker delta）写成

$$\varphi_j(v_k) = \delta_{jk}.$$

3.2 Example: the dual basis of the standard basis of $\mathbf{F}^n$ (3.113)

Example 3.113
设 $n$ 是正整数。对 $1 \le j \le n$，定义 $\varphi_j$ 为 $\mathbf{F}^n$ 上”取出第 $j$ 个坐标”的线性泛函：

$$\varphi_j(x_1,\dots,x_n) = x_j$$

对每个 $(x_1,\dots,x_n) \in \mathbf{F}^n$ 成立。

设 $e_1,\dots,e_n$ 是 $\mathbf{F}^n$ 的标准基。则

$$\varphi_j(e_k) = \begin{cases} 1, & \text{若 } k = j,\\ 0, & \text{若 } k \neq j.\end{cases}$$

因此 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 就是 $\mathbf{F}^n$ 的标准基 $e_1,\dots,e_n$ 的对偶基。

对标准基而言，“对偶基”就是”坐标函数”。这也让我们能直觉地把一般情形想成”在任意一组基下的坐标函数”——见下一条定理。

3.3 Theorem: dual basis gives coefficients for linear combination (3.114)

Theorem 3.114 (dual basis gives coefficients for linear combination)
设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 是对偶基。则对每个 $v \in V$，

$$v = \varphi_1(v)v_1 + \dots + \varphi_n(v)v_n.$$

证明：设 $v \in V$。因为 $v_1,\dots,v_n$ 是基，存在 $c_1,\dots,c_n \in \mathbf{F}$ 使

$$v = c_1v_1 + \dots + c_nv_n. \tag{3.115}$$

若 $j \in \{1,\dots,n\}$，把 $\varphi_j$ 作用于上式两端。由 $\varphi_j$ 的线性性与 $\varphi_j(v_k) = \delta_{jk}$，

$$\varphi_j(v) = \sum_{k=1}^n c_k\varphi_j(v_k) = c_j.$$

把 $c_1,\dots,c_n$ 的这些值代回 $(3.115)$，即得

$$v = \varphi_1(v)v_1 + \dots + \varphi_n(v)v_n. \qquad\blacksquare$$

$\varphi_j$ 被定义为”读取第 $j$ 个坐标”的机器（在基 $v_1,\dots,v_n$ 下）。定理说的正是这件事：$\varphi_j(v)$ 就是 $v$ 的第 $j$ 个坐标。所以说 定义 $3.112$ 没有引入任何新东西——它只是给了”坐标”这个概念一个不依赖于写法的名字。这也解释了为什么 Example 3.113 中 $\varphi_j$ 恰好是”取第 $j$ 个坐标”。

3.4 Theorem: dual basis is a basis of the dual space (3.116)

Theorem 3.116 (dual basis is a basis of the dual space)
设 $V$ 有限维。则 $V$ 的任意一组基的对偶基是 $V'$ 的一组基。

证明：设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 是对偶基。我们按”线性无关 + 长度恰当”两步来证（定理 2.38：长度等于维数的线性无关列表必是基）。

第一步：$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 线性无关。 设 $a_1,\dots,a_n \in \mathbf{F}$ 使

$$a_1\varphi_1 + \dots + a_n\varphi_n = 0. \tag{3.117}$$

（右端的 $0$ 是 $V'$ 的零元素，即”处处取零”的泛函。）现在把两边作用到 $v_k$ 上：由定义 3.112，

$$(a_1\varphi_1 + \dots + a_n\varphi_n)(v_k) = a_k$$

（只有第 $k$ 项存活）。而 $(3.117)$ 说这个泛函恒等于 $0$，故其取值 $a_k = 0$。对每个 $k = 1,\dots,n$ 成立，于是 $a_1 = \dots = a_n = 0$。

第二步：长度等于维数。 第一步说明 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 是 $V'$ 中长度 $n$ 的线性无关列表，而由 定理 3.111，

$$\dim V' = \dim V = n.$$

长度等于维数的线性无关列表必是基（定理 2.38），故 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 是 $V'$ 的基。$\blacksquare$

这里证明的技巧是”把待证的函数等式作用到一个方便的向量上”。我们没有去比较两个泛函的”表达式”（泛函根本没法写成坐标），而是取一组基向量逐个测试。这与 lecture 7/8 中”证明两个线性映射相等只需在基上验证”是同一个思想的两种形态——映射的等式，可以用它在基上的作用来证明。

由此可以回答讲义提出的两个角度（两种证明思路其实是同一步骤的两面）：

• “这组列表张成了 $V'$，长度为 $n$“：由 定理 3.111，$\dim V' = n$。若能证明它张成，则它必是基。
• “这组列表线性无关，长度为 $n = \dim V'$“：这正是上面给出的两步证明。 两者只需其一 + 长度恰当 + 定理 2.38。第一种说法更适合先证明”每个 $\psi \in V'$ 都能写成 $\sum \psi(v_j)\varphi_j$“（习题 3.F.11），第二种说法计算更短。

一个重要的副产品：取 $V = \mathbf{F}^n$、$v_j = e_j$，我们得到”$\mathbf{F}^n$ 上每个线性泛函都是坐标的线性组合”（见 Example 3.109 的第二条）。所以”对偶基是基”这件事，在 $\mathbf{F}^n$ 中就是”坐标函数的个数恰好足以张成所有线性泛函”。

4. The Dual Map (对偶映射)

4.1 Definition: dual map, $T'$ (3.118)

现在到了本讲最关键的一步：把线性映射”翻过来”。

Definition 3.118 (dual map, $T'$)
设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$。$T$ 的对偶映射 (dual map) 是如下定义的线性映射 $T' \in \mathcal{L}(W',V')$：对每个 $\varphi \in W'$，

$$T'(\varphi) = \varphi \circ T.$$

$T$ 从 $V$ 到 $W$，而 $T'$ 从 $W'$ 到 $V'$。定义域与陪域都取了 $'$，但箭头方向反了。

要定义 $T'$，我们必须从”$W$ 上的测量手段 $W'$“造出”$V$ 上的测量手段 $V'$“。现在我们手上有两样东西：$\varphi: W \to \mathbf{F}$ 和 $T: V \to W$。把它们接起来——先 $T$ 后 $\varphi$——就得到 $V \to \mathbf{F}$：

$$V \xrightarrow{\ \ T\ \ } W \xrightarrow{\ \ \varphi\ \ } \mathbf{F} \qquad\Longrightarrow\qquad \varphi \circ T \in V'.$$

反过来（先 $\varphi$ 后 $T$）复合是不成立的，因为 $T$ 的定义域是 $V$，而 $\varphi$ 的输出在 $\mathbf{F}$ 里。

验证 $T'(\varphi) \in V'$：$T'(\varphi) = \varphi \circ T$ 是两个线性映射的复合，因此是从 $V$ 到 $\mathbf{F}$ 的线性映射，即 $V'$ 的元素。

$T'$ 本身是线性的：

• 设 $\varphi, \psi \in W'$。对每个 $v \in V$， $$T'(\varphi + \psi)(v) = \big((\varphi+\psi)\circ T\big)(v) = (\varphi+\psi)(Tv) = \varphi(Tv) + \psi(Tv) = \big(T'(\varphi) + T'(\psi)\big)(v),$$ 故 $T'(\varphi+\psi) = T'(\varphi) + T'(\psi)$。
• 设 $\lambda \in \mathbf{F}$，$\varphi \in W'$。则 $T'(\lambda\varphi)(v) = (\lambda\varphi)(Tv) = \lambda\,\varphi(Tv) = \big(\lambda T'(\varphi)\big)(v)$，故 $T'(\lambda\varphi) = \lambda T'(\varphi)$。

至此，我们得到了$\varphi \in W',\ T'(\varphi) \in V'$，$T$ 是线性的，所以 $T' \in \mathcal{L}(W',V')$

“复合是结合律的、分配律的”这两条关于函数复合的普遍事实，就是 $T'$ 线性性的全部来源。没有用到 $T$ 的任何特殊性质——事实上 $T$ 甚至不需要是线性的，$T'$ 也会保持线性。

4.2 Example: dual map of the differentiation linear map (3.119)

Example 3.119
定义 $D : \mathcal{P}(\mathbf{R}) \to \mathcal{P}(\mathbf{R})$ 为 $Dp = p'$。

• 设 $\varphi$ 是 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 上由 $\varphi(p) = p(3)$ 定义的线性泛函。则 $D'(\varphi)$ 是如下给定的线性泛函：

  $$\big(D'(\varphi)\big)(p) = (\varphi \circ D)(p) = \varphi(Dp) = \varphi(p') = p'(3).$$

  因此 $D'(\varphi)$ 是”把 $p$ 映到 $p'(3)$“的线性泛函。

• 设 $\varphi$ 是 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 上由 $\varphi(p) = \int_0^1 p$ 定义的线性泛函。则

  $$\big(D'(\varphi)\big)(p) = \varphi(Dp) = \varphi(p') = \int_0^1 p' = p(1) - p(0).$$

  因此 $D'(\varphi)$ 是”把 $p$ 映到 $p(1) - p(0)$“的线性泛函。

读法：$D'$ 的作用是”把测量 $\varphi$ 换成’先求导再测量’“。两个例子的对比很有意思：

• 第一个 $\varphi$ 是”在某点求值”，$D'(\varphi)$ 变成”在某点求导数值”；
• 第二个 $\varphi$ 是”积分”，$D'(\varphi)$ 借助微积分基本定理变成了”两端的差”。

这正是对偶映射的用途：它把 $W$ 上的一个操作（测量）拉回成 $V$ 上的操作，而拉回的过程往往把”已知的 $\varphi$“翻译成一个新的、非平凡的函数。在微分方程与泛函分析中，这套”拉回”是标准的论证工具。

Axler 的书中 $D'$ 表示线性映射 $D$ 的对偶，而 $p'$ 表示多项式 $p$ 的导数。同一个撇号有两种不相关的含义，请务必看上下文。

4.3 Theorem: algebraic properties of dual maps (3.120)

Theorem 3.120 (algebraic properties of dual maps)
设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

• (a) $(S+T)' = S' + T'$ 对一切 $S \in \mathcal{L}(V,W)$ 成立；
• (b) $(\lambda T)' = \lambda T'$ 对一切 $\lambda \in \mathbf{F}$ 成立；
• (c) $(ST)' = T'S'$ 对一切 $S \in \mathcal{L}(W,U)$ 成立。

证明：

(a) 与 (b) 留给读者。要点是：在任意 $\varphi \in W'$ 处逐点验证。例如

$$\big((S+T)'\big)(\varphi) = \varphi \circ (S+T), \qquad \big(S' + T'\big)(\varphi) = \varphi \circ S + \varphi \circ T,$$

而”$\circ$ 对加法分配”（即 $\varphi \circ (S+T) = \varphi\circ S + \varphi \circ T$）正是线性映射加法的定义。由 定理 3.120(a)(b) 可知，映射 $T \mapsto T'$ 是从 $\mathcal{L}(V,W)$ 到 $\mathcal{L}(W',V')$ 的线性映射。

(c) 设 $\varphi \in U'$。则

$$(ST)'(\varphi) = \varphi \circ (ST) = (\varphi \circ S) \circ T = T'(\varphi\circ S) = T'\big(S'(\varphi)\big) = (T'S')(\varphi),$$

其中第一个、第三个、第四个等号来自对偶映射的定义，第二个等号是函数复合的结合律，最后一个等号来自复合的定义。由于 $(ST)'(\varphi) = (T'S')(\varphi)$ 对一切 $\varphi \in U'$ 成立，故 $(ST)' = T'S'$。$\blacksquare$

为什么 (c) 必须”反序”？ 从类型上看就一目了然：

$$S: W \to U, \qquad T: V \to W \qquad\Longrightarrow\qquad ST : V \to U,$$

取对偶后每个箭头都反向：

$$S': U' \to W', \qquad T': W' \to V' \qquad\Longrightarrow\qquad T'S': U' \to V' \ \text{（这正是 } (ST)' \text{ 的类型）}.$$

而 $S'T'$ 根本接不上（$T'$ 的陪域是 $V'$，$S'$ 的定义域是 $U'$）。所以”反序”不是巧合，而是方向翻转的必然结果——这与矩阵乘积的逆 $(ST)^{-1} = T^{-1}S^{-1}$（习题 3.D.2）、转置的反序律 $(AC)^t = C^tA^t$ 是同一个现象。第 5 节会说明后面那个等式其实是对偶的直接翻译。

5. The Null Space and Range of the Dual of a Linear Map (对偶映射的零空间与值域)

本节的目标：用 $\text{range } T$ 描述 $\text{null } T'$，用 $\text{null } T$ 描述 $\text{range } T'$。这需要一个新的概念——而它正是本讲的重中之重。

5.1 Definition: annihilator, $U^0$ (3.121)

Definition 3.121 (annihilator, $U^0$)
对 $U \subseteq V$，$U$ 的零化子 (annihilator)，记作 $U^0$，定义为

$$U^0 = \{\varphi \in V' : \varphi(u) = 0 \text{ 对一切 } u \in U\}.$$

为什么要这样定义？——四个层面的动机

这是本讲最需要讲清楚的一个概念，因为它看起来只是”一堆定义”，但每一条设计都有理由：

（一）为什么定义在子集上，而不是子空间上？ 定义只要求 $U \subseteq V$（不要求 $U$ 是子空间）。这不是疏忽，而是**“更一般不妨碍结论”：$U^0$ 只用到”$\varphi$ 在 $U$ 的元素上取零”这一条信息，不需要 $U$ 有代数结构。事实上由第 5.2 节的定理，$U^0$ 自动是子空间**（无论 $U$ 是不是），所以”$U$ 是子空间”这个假设被推到了结论里——能少假设就少假设。

（二）为什么要求”在整个 $U$ 上取零”，而不是”在 $U$ 上取某组值”？ 因为 $\varphi(u) = 0$ 有一个特殊地位：$0$ 是 $\mathbf{F}$ 的加法单位元，因而”$\varphi$ 在 $U$ 上取零”意味着 $\varphi$ 对 $U$ 内的所有差别完全失明。换句话说，$U^0$ 是”在 $U$ 上分辨不出任何东西的测量手段”的集合。这正是”零化子”（annihilator，使……为零者）这个名称的含义。

（三）几何意义是什么？ 把 $\varphi$ 想成一把”尺子”。$\text{null } \varphi = \{v : \varphi(v) = 0\}$ 是这把尺的零刻度超平面（比 $V$ 低一维）。于是

$$U^0 = \{\varphi : U \subseteq \text{null } \varphi\},$$

即 $U^0$ 由所有”把 $U$ 整个压进自己零刻度”的尺组成。

用 lecture 9 的商空间语言说，$\varphi \in U^0$ $\iff$ $\varphi$ 在 $U$ 的每个平移上取常值 $\iff$ $\varphi$ 可以”下降到商空间 $V/U$ 上”成为一个良定义的泛函。所以 $U^0$ 本质上是 $(V/U)'$ 的一个副本——这正是”零化子与商空间对偶”这一深刻事实（习题 3.F.33 会把它写成 $\pi'$ 是 $(V/U)'$ 到 $U^0$ 的同构）。

（这里说的”平移”就是集合 $v + U$；第三版称它为 $U$ 的仿射子集 (affine subset)。第四版改用 translate 这个更直观的名字：它直接描述了”把 $U$ 整体搬走”这个动作，而 affine 只提示”与线性相关”，必须另外记住”对系数和为 $1$ 的线性组合封闭”才算知道它的意思。详见 lecture 9 第 4.1 节末的 Remark。）

在 $\mathbf{R}^3$ 中的图像：

• $U = \{0\}$：唯一的”失明”条件是 $\varphi(0) = 0$（永远成立），故 $U^0 = V'$，即所有尺都行；
• $U$ 是一条过原点的直线：要求 $\varphi$ 在该直线上取零，即零刻度平面包含这条直线。所有这样的平面族构成一个 $2$ 维的泛函空间；
• $U$ 是一个过原点的平面：要求零刻度平面包含整个平面，即 $\varphi$ 的零刻度平面恰是 $U$。这样的 $\varphi$（差一个数乘）只有一个方向，故 $U^0$ 是 $1$ 维的；
• $U = V$：要求 $\varphi$ 处处为零，故 $U^0 = \{0\}$，即只有零尺才完全失明。

（四）它对研究 $\text{range}$ 与 $\text{null}$ 有什么用？ 这是最关键的一条。回忆 定理 3.107（lecture 9）：$V/\text{null } T \cong \text{range } T$——商空间能描述值域。而 (三) 告诉我们零化子与商空间对偶，于是零化子也能描述值域。更进一步，把 定理 3.101（lecture 9）的”两个平移相等 $\iff$ 差属于子空间”的逻辑搬到泛函上，就得到本节的核心等式：

$$\text{null } T' = (\text{range } T)^0, \qquad \text{range } T' = (\text{null } T)^0.$$

零化子把”$T$ 的核与值域”和”$T'$ 的核与值域”精确地对换了起来——这就是”对偶”二字最实在的内容。lecture 6 的”信息守恒”在这里变成了”信息互换”。

5.2 Example: element of an annihilator (3.122)

Example 3.122
设 $U$ 是 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 中由 $x^2$ 的多项式倍式构成的子空间（即 $U = \{x^2p : p \in \mathcal{P}(\mathbf{R})\}$）。若 $\varphi$ 是 $\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 上由 $\varphi(p) = p'(0)$ 定义的线性泛函，则 $\varphi \in U^0$。

验证：$U$ 中元素形如 $x^2p$。对这类多项式求导得 $2xp + x^2p'$，在 $x = 0$ 处取值得 $0$。故 $\varphi$ 在 $U$ 上恒为零，$\varphi \in U^0$。$\checkmark$

5.3 Example: the annihilator of a two-dimensional subspace of $\mathbf{R}^5$ (3.123)

Example 3.123
设 $e_1,e_2,e_3,e_4,e_5$ 是 $\mathbf{R}^5$ 的标准基，$\varphi_1,\dots,\varphi_5 \in (\mathbf{R}^5)'$ 是它们的对偶基。设

$$U = \text{span}(e_1,e_2) = \{(x_1,x_2,0,0,0) \in \mathbf{R}^5 : x_1,x_2 \in \mathbf{R}\}.$$

我们要证明

$$U^0 = \text{span}(\varphi_3,\varphi_4,\varphi_5).$$

回忆（Example 3.113）：$\varphi_j$ 是”取第 $j$ 个坐标”的线性泛函，$\varphi_j(x_1,\dots,x_5) = x_j$。

证明：

第一步：$\text{span}(\varphi_3,\varphi_4,\varphi_5) \subseteq U^0$。 设 $\varphi \in \text{span}(\varphi_3,\varphi_4,\varphi_5)$，即存在 $c_3,c_4,c_5$ 使 $\varphi = c_3\varphi_3 + c_4\varphi_4 + c_5\varphi_5$。若 $(x_1,x_2,0,0,0) \in U$，则

$$\varphi(x_1,x_2,0,0,0) = (c_3\varphi_3 + c_4\varphi_4 + c_5\varphi_5)(x_1,x_2,0,0,0) = c_3\cdot 0 + c_4\cdot 0 + c_5\cdot 0 = 0.$$

故 $\varphi \in U^0$。

第二步：$U^0 \subseteq \text{span}(\varphi_3,\varphi_4,\varphi_5)$。 设 $\varphi \in U^0$。因为对偶基是 $(\mathbf{R}^5)'$ 的基（定理 3.116），存在 $c_1,\dots,c_5 \in \mathbf{R}$ 使

$$\varphi = c_1\varphi_1 + c_2\varphi_2 + c_3\varphi_3 + c_4\varphi_4 + c_5\varphi_5.$$

因为 $e_1 \in U$ 且 $\varphi \in U^0$，

$$0 = \varphi(e_1) = (c_1\varphi_1 + \dots + c_5\varphi_5)(e_1) = c_1.$$

同理 $e_2 \in U$ 给出 $c_2 = 0$。故 $\varphi = c_3\varphi_3 + c_4\varphi_4 + c_5\varphi_5 \in \text{span}(\varphi_3,\varphi_4,\varphi_5)$。

结论：$U^0 = \text{span}(\varphi_3,\varphi_4,\varphi_5)$。$\blacksquare$

这个例子的演示了计算零化子的标准流程——

1. 取 $V$ 的一组基，并把 $U$ 的基扩充成 $V$ 的基（这里 $U = \text{span}(e_1,e_2)$ 的基 $e_1,e_2$ 已经自然扩充为 $e_1,\dots,e_5$）；
2. 取对偶基；
3. 落在 $U$ 上的那些 $\varphi_j$ 必须被”杀掉”（它们的系数为 $0$），剩下的就是对偶基。

由此立刻得到 $U$ 是 $2$ 维、$U^0$ 是 $3$ 维，两者之和 $= 5 = \dim \mathbf{R}^5$——正是 定理 3.125 的内容。

5.4 Theorem: the annihilator is a subspace (3.124)

Theorem 3.124 (the annihilator is a subspace)
设 $U \subseteq V$。则 $U^0$ 是 $V'$ 的子空间。

证明：用子空间判据（1.34）三条。

• $0 \in U^0$：这里 $0$ 是 $V$ 上的零泛函，它对每个 $v \in V$ 都取值 $0 \in \mathbf{F}$，当然对 $u \in U$ 也取 $0$。故 $0 \in U^0$。$\checkmark$
• 对加法封闭：设 $\varphi, \psi \in U^0$，即 $\varphi(u) = \psi(u) = 0$ 对一切 $u \in U$。则对 $u \in U$， $$(\varphi + \psi)(u) = \varphi(u) + \psi(u) = 0 + 0 = 0,$$ 故 $\varphi + \psi \in U^0$。$\checkmark$
• 对数乘封闭：设 $\varphi \in U^0$，$\lambda \in \mathbf{F}$，$u \in U$。则 $(\lambda\varphi)(u) = \lambda\varphi(u) = \lambda\cdot 0 = 0$，故 $\lambda\varphi \in U^0$。$\checkmark$

因此由 1.34，$U^0$ 是 $V'$ 的子空间。$\blacksquare$

注意这里的”自动性”：$U$ 甚至不需要是子空间，$U^0$ 就已经是子空间了。原因在于”取零”这个性质在线性运算下天然保持——这正是 命题 3.13（零空间是子空间）的同一现象，只不过现在”被取零”的对象换成了泛函。$U^0$ 是”$U$ 上取值映射”的零空间。

5.5 Theorem: dimension of the annihilator (3.125)

Theorem 3.125 (dimension of the annihilator)
设 $V$ 有限维，$U$ 是 $V$ 的子空间。则

$$\dim U^0 = \dim V - \dim U.$$

证明思路（先给出”笨”但直观的做法，再给 Axler 的巧证）：

笨办法（构造基，Axler 建议读者务必自己做一遍）：取 $U$ 的一组基 $u_1,\dots,u_m$，由基扩充定理扩充为 $V$ 的基

$$u_1,\dots,u_m,\ u_{m+1},\dots,u_n,$$

取对偶基 $\varphi_1,\dots,\varphi_m,\varphi_{m+1},\dots,\varphi_n$。则断言 $\varphi_{m+1},\dots,\varphi_n$ 是 $U^0$ 的一组基：

• 它们属于 $U^0$：因为对 $k \le m$，$\varphi_j(u_k) = 0$（$j > m > k$），故每个 $\varphi_j$（$j > m$）在前 $m$ 个基向量上取零，从而在整个 $U$ 上取零；
• 它们线性无关（作为基的一部分）；
• 它们张成 $U^0$：若 $\varphi \in U^0$，由 定理 3.116 写 $\varphi = \sum_j c_j\varphi_j$，则对 $k \le m$， $$0 = \varphi(u_k) = c_k,$$ 故 $c_1 = \dots = c_m = 0$，$\varphi$ 只是 $\varphi_{m+1},\dots,\varphi_n$ 的组合。

于是 $\dim U^0 = n - m = \dim V - \dim U$。

Axler 的巧证（更短）：设 $i \in \mathcal{L}(U,V)$ 是包含映射 (inclusion map)，定义为 $i(u) = u$ 对每个 $u \in U$ 成立。于是 $i'$ 是从 $V'$ 到 $U'$ 的线性映射。把线性映射基本定理（定理 3.21）用于 $i'$：

$$\dim \text{range } i' + \dim \text{null } i' = \dim V'.$$

现在认出两项：

• $\text{null } i' = U^0$。因为 $i'(\varphi) = \varphi \circ i$，而 $\varphi \circ i$ 是 $\varphi$ 在 $U$ 上的限制；它等于 $U$ 上的零泛函 $\iff$ $\varphi$ 在整个 $U$ 上取零 $\iff$ $\varphi \in U^0$。
• $\dim V' = \dim V$（定理 3.111）。

于是

$$\dim \text{range } i' + \dim U^0 = \dim V. \tag{3.126}$$

再认出 $\text{range } i' = U'$：任取 $\varphi \in U'$。$\varphi$ 可以延拓为 $V$ 上的线性泛函 $\psi$（例如取 $U$ 的基并用线性映射引理延拓到 $V$ 的基，见习题 3.A.13）。按 $i'$ 的定义，$i'(\psi) = \psi|_U = \varphi$，故 $\varphi \in \text{range } i'$。因此

$$\dim \text{range } i' = \dim U' = \dim U.$$

把它代入 $(3.126)$，得 $\dim U + \dim U^0 = \dim V$，即所欲证。$\blacksquare$

两种证法的对比：笨办法具体、可视化（它告诉你 $U^0$ 的基长什么样：就是”扩充出来的那部分基向量的对偶”）；巧证则把 $U^0$ 识别成一个熟悉的对象的核，然后用基本定理一劳永逸。两道都值得会——前者用于计算，后者用于理解。这也是本讲反复出现的模式：认出”这是某个映射的核/值域”，比硬算坐标更有力。

顺带一提：把 命题 3.105 放在一起看，

$$\dim U^0 = \dim V - \dim U = \dim V/U.$$

零化子与商空间维数相同，这不是巧合——习题 3.F.33 会证明 $(V/U)' \cong U^0$（事实上是自然同构）。“商掉”与”零化掉”是同一件事在对偶两侧的名字。

5.6 Theorem: condition for the annihilator to equal $\{0\}$ or the whole space (3.127)

Theorem 3.127
设 $V$ 有限维，$U$ 是 $V$ 的子空间。则

• (a) $U^0 = \{0\} \iff U = V$；
• (b) $U^0 = V' \iff U = \{0\}$。

证明：两条都是”维数配平”的直接推论。

(a)

$$U^0 = \{0\} \iff \dim U^0 = 0 \iff \dim U = \dim V \iff U = V,$$

第二步用 定理 3.125，第三步用 定理 2.39（子空间与原空间维数相同则相等）。

(b)

$$U^0 = V' \iff \dim U^0 = \dim V' \iff \dim U^0 = \dim V \iff \dim U = 0 \iff U = \{0\},$$

第一步的一侧用 定理 2.39，第二步用 定理 3.111，第三步用 定理 3.125。$\blacksquare$

Axler 的点评（值得记住的用途）：这条定理是一个双向的放大镜——

• 要证 $U$ 已经大到不能再大（即 $U = V$），只需证明 $U^0$ 里只剩零泛函（(a)）；
• 要证 $U$ 已经小到不能再小（即 $U = \{0\}$），只需证明 $U^0$ 里什么都有（(b)）。

这类”把关于子空间的命题翻译成关于泛函的命题”的手法，是泛函分析中”对偶方法”的雏形。

5.7 Theorem: the null space of $T'$ (3.128)

Theorem 3.128 (the null space of $T'$)
设 $V, W$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

• (a) $\text{null } T' = (\text{range } T)^0$；
• (b) $\dim \text{null } T' = \dim \text{null } T + \dim W - \dim V$。

证明：

(a) 两个包含分别验证。

设 $\varphi \in \text{null } T'$。则 $0 = T'(\varphi) = \varphi \circ T$，即对每个 $v \in V$，

$$0 = (\varphi \circ T)(v) = \varphi(Tv).$$

而 $\{Tv : v \in V\} = \text{range } T$，故 $\varphi$ 在 $\text{range } T$ 上恒为零，即 $\varphi \in (\text{range } T)^0$。于是 $\text{null } T' \subseteq (\text{range } T)^0$。

反之设 $\varphi \in (\text{range } T)^0$，即 $\varphi(Tv) = 0$ 对一切 $v \in V$ 成立。则 $0 = \varphi \circ T = T'(\varphi)$，即 $\varphi \in \text{null } T'$。于是 $(\text{range } T)^0 \subseteq \text{null } T'$。

两者合起来给出 (a)。注意这一部分的证明没有用到 $V,W$ 的有限维性。

(b)

$$\begin{aligned} \dim \text{null } T' &= \dim(\text{range } T)^0 &&\text{（由 (a)）}\\ &= \dim W - \dim \text{range } T &&\text{（由 3.125）}\\ &= \dim W - \big(\dim V - \dim \text{null } T\big) &&\text{（由基本定理 3.21）}\\ &= \dim \text{null } T + \dim W - \dim V. && \end{aligned}$$

$\blacksquare$

解读：(a) 是本讲的核心等式之一。用自然语言说：

一个测量手段 $\varphi$ 会”在 $T'$ 下变成零”，当且仅当它对 $T$ 能到达的一切都失明。

也就是说，$T'$ 的信息损失，恰好等于”$T$ 的像所无法分辨的那些测量”。$T$ 丢掉了什么，$T'$ 就在同一批东西上丢掉了什么——只不过一个是”输入侧”的丢失，一个是”测量侧”的丢失。

(b) 的形式值得一提：$\dim \text{null } T' = \dim \text{null } T + \dim W - \dim V$。把它与基本定理对照：

$$\dim \text{null } T' = \dim \text{null } T - (\dim V - \dim W).$$

所以当 $\dim V = \dim W$ 时，$\dim \text{null } T' = \dim \text{null } T$——$T$ 与 $T'$ “丢得一样多”。这与 §6 中转置矩阵”秩不变”是同一件事。

5.8 Theorem: $T$ surjective is equivalent to $T'$ injective (3.129)

Theorem 3.129
设 $V, W$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

$$T \text{ 是满射} \iff T' \text{ 是单射}.$$

证明：

$$\begin{aligned} T \text{ 满射} &\iff \text{range } T = W\\ &\iff (\text{range } T)^0 = \{0\} &&\text{（由 3.127(a)）}\\ &\iff \text{null } T' = \{0\} &&\text{（由 3.128(a)）}\\ &\iff T' \text{ 单射}. &&\text{（由 3.15）} \end{aligned}$$

$\blacksquare$

为什么这条定理有用？ Axler 的点评很实在：有时候验证 $T'$ 单射比直接验证 $T$ 满射容易。原因是 $T'$ 的定义域是 $W'$，而”单射”只需检查 $\text{null } T' = \{0\}$，即”哪些测量在整个 $\text{range } T$ 上取零”——这往往是一个关于泛函的齐次问题，比”$Tv = w$ 是否对每个 $w$ 可解”更容易下手。把”满射”换成”单射”，是把一个”存在性”问题换成了一个”唯一性”问题——这正是 lecture 8 中 定理 3.65 教给我们的同一个技巧（“单射通常更便宜”）。

5.9 Theorem: the range of $T'$ (3.130)

Theorem 3.130 (the range of $T'$)
设 $V, W$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

• (a) $\dim \text{range } T' = \dim \text{range } T$；
• (b) $\text{range } T' = (\text{null } T)^0$。

证明：

(a) 用基本定理（定理 3.21）与 定理 3.128(a)：

$$\begin{aligned} \dim \text{range } T' &= \dim W' - \dim \text{null } T' &&\text{（3.21 用于 } T' \in \mathcal{L}(W',V')\text{）}\\ &= \dim W - \dim(\text{range } T)^0 &&\text{（由 3.111 与 3.128(a)）}\\ &= \dim \text{range } T. &&\text{（由 3.125）} \end{aligned}$$

(b) 先证一个包含，再用维数补全。

设 $\varphi \in \text{range } T'$，即存在 $\psi \in W'$ 使 $\varphi = T'(\psi)$。若 $v \in \text{null } T$，则

$$\varphi(v) = \big(T'(\psi)\big)(v) = (\psi \circ T)(v) = \psi(Tv) = \psi(0) = 0.$$

故 $\varphi \in (\text{null } T)^0$，即 $\text{range } T' \subseteq (\text{null } T)^0$。

再比较维数：

$$\dim \text{range } T' = \dim \text{range } T = \dim V - \dim \text{null } T = \dim(\text{null } T)^0,$$

其中第一个等号来自 (a)，第二个来自基本定理，第三个来自 定理 3.125。包含 + 维数相同 $\Rightarrow$ 相等（定理 2.39），故 $\text{range } T' = (\text{null } T)^0$。$\blacksquare$

解读：(b) 是 (a) 的精确版本——它不仅说”维数相同”，而是明确指出 $\text{range } T'$ 是哪一个子空间。与 定理 3.128(a) 放在一起，我们得到了本讲最漂亮的一对等式：

$$\boxed{\ \text{null } T' = (\text{range } T)^0, \qquad \text{range } T' = (\text{null } T)^0.\ }$$

$T'$ 把 $T$ 的核与值域互换，并把它们变成零化子。 这是”对偶”最实在的内容：它不是”另一个空间”，而是一面把核与值域对调过来的镜子。

5.10 Theorem: $T$ injective is equivalent to $T'$ surjective (3.131)

Theorem 3.131
设 $V, W$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

$$T \text{ 是单射} \iff T' \text{ 是满射}.$$

证明：

$$\begin{aligned} T \text{ 单射} &\iff \text{null } T = \{0\}\\ &\iff (\text{null } T)^0 = V' &&\text{（由 3.127(b)）}\\ &\iff \text{range } T' = V' &&\text{（由 3.130(b)）}\\ &\iff T' \text{ 是满射}. && \end{aligned}$$

$\blacksquare$

把 定理 3.129 与 定理 3.131 并排看：

$T$ 的性质	$T'$ 的性质
$T$ 满射	$T'$ 单射 （3.129）
$T$ 单射	$T'$ 满射 （3.131）
$T$ 可逆	$T'$ 可逆 （习题 3.F.17）

单射与满射在对偶下互换——这张表值得背下来。它也是第 6 节”转置不改变秩”的抽象根源：秩 $=$ 值域维数，而 $T$ 与 $T'$ 的值域维数相等（定理 3.130(a)）。

6. The Matrix of the Dual of a Linear Map (对偶映射的矩阵)

既然讲了映射，根据我们前面 lecture-8 的所学，线性映射与矩阵之间是同构的。那么对于一个线性映射的对偶映射，我们能否找到一个矩阵与之对应？答案是肯定的。

6.1 Theorem: matrix of $T'$ is transpose of matrix of $T$ (3.132)

Theorem 3.132 (matrix of $T'$ is transpose of matrix of $T$)
设 $V, W$ 有限维，$T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

$$\mathcal{M}(T') = \big(\mathcal{M}(T)\big)^t.$$

设定的说明：设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基、$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 是其对偶基；$w_1,\dots,w_m$ 是 $W$ 的基、$\psi_1,\dots,\psi_m$ 是其对偶基。则 $\mathcal{M}(T)$ 关于 $v_1,\dots,v_n$ 与 $w_1,\dots,w_m$ 计算，而 $\mathcal{M}(T')$ 关于对偶基 $\psi_1,\dots,\psi_m$ 与 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 计算（注意顺序：$T'$ 把 $W'$ 送到 $V'$）。用这两组对偶基，会得到一个很漂亮的结果。

有读者看到这里一定会很兴奋：这性质也太好了吧！对偶映射的矩阵居然是原线性映射的矩阵转置！这个结果其实早可以在零化子的讨论中被看出来——定理 3.128和定理 3.130中描述了对偶映射与原映射之间零空间与值域的关系，有线性代数基础的读者应该能立马在直觉上将两个映射的矩阵转置联系起来。

证明：记 $A = \mathcal{M}(T)$（$m$-by-$n$），$C = \mathcal{M}(T')$（$n$-by-$m$）。设 $1 \le j \le m$，$1 \le k \le n$。由 $\mathcal{M}(T')$ 的定义（定义 3.31），

$$T'(\psi_j) = \sum_{r=1}^n C_{r,j}\,\varphi_r.$$

左端等于 $\psi_j \circ T$。把两边作用到 $v_k$ 上：

$$(\psi_j \circ T)(v_k) = \sum_{r=1}^n C_{r,j}\varphi_r(v_k) = C_{k,j}, \tag{A}$$

最后一步因为 $\varphi_r(v_k) = \delta_{rk}$。

另一方面，直接算左端：

$$(\psi_j \circ T)(v_k) = \psi_j(Tv_k) = \psi_j\Big(\sum_{r=1}^m A_{r,k}w_r\Big) = \sum_{r=1}^m A_{r,k}\,\psi_j(w_r) = A_{j,k}, \tag{B}$$

最后一步因为 $\psi_j(w_r) = \delta_{jr}$。

比较 $(A)$ 与 $(B)$，得 $C_{k,j} = A_{j,k}$。这正是”转置”的定义（定义 3.54）：$C = A^t$，即 $\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^t$。$\blacksquare$

这条定理的意义（lecture 7 的伏笔终于兑现）：在 lecture 7 中，我们定义了转置 $A^t$（把行列互换），并类比说”转置与对偶同源”（当时我们只能靠 $(AC)^t = C^tA^t$ 与 $(ST)' = T'S'$ 的相似性来”感觉”这件事）。现在这个类比被证明是定理：

$$\text{转置} = \text{对偶映射的矩阵}.$$

于是 lecture 7 中两个”神秘”的性质立刻有了理由：

• 反序律 $(AC)^t = C^tA^t$ 只是 定理 3.120(c) 的坐标化身；
• 转置是线性映射（习题 3.C.14）只是”$T \mapsto T'$ 是线性映射”（定理 3.120(a)(b)）的坐标化身。

6.2 Theorem: column rank equals row rank (3.133)

现在用对偶给出行秩 = 列秩的一个新证明。lecture 7 的 定理 3.57 已经用列–行分解（定理 3.56）证明过这条结论，这里换一个视角。

Theorem 3.133 (column rank equals row rank)
设 $A \in \mathbf{F}^{m,n}$。则 $A$ 的列秩等于 $A$ 的行秩（两者的定义见 lecture 7 的 定义 3.52）。

证明：定义 $T : \mathbf{F}^{n,1} \to \mathbf{F}^{m,1}$ 为 $Tx = Ax$，其中 $\mathcal{M}(T)$ 关于 $\mathbf{F}^{n,1}$ 与 $\mathbf{F}^{m,1}$ 的标准基计算。则 $\mathcal{M}(T) = A$。于是

$$\begin{aligned} A \text{ 的列秩} &= \mathcal{M}(T) \text{ 的列秩}\\ &= \dim \text{range } T &&\text{（由 3.78）}\\ &= \dim \text{range } T' &&\text{（由 3.130(a)）}\\ &= \mathcal{M}(T') \text{ 的列秩} &&\text{（由 3.78 用于 } T'\text{）}\\ &= A^t \text{ 的列秩} &&\text{（由 3.132）}\\ &= A \text{ 的行秩}. &&\text{（转置把 $A$ 的行变成 $A^t$ 的列）} \end{aligned}$$

$\blacksquare$

证明的分工很清楚：唯一”硬”的一步是 $\dim \text{range } T = \dim \text{range } T'$（定理 3.130(a)），而它本身是”零化子维数公式”（定理 3.125）与基本定理的联合结果。其余各步都只是”把矩阵语言翻译成映射语言、再翻译回来”。一次对偶，就把一个关于矩阵的深刻事实变成了一个关于维数的平凡事实。

与 lecture 7 的证法对比：

	lecture 7（定理 3.57）	本讲（定理 3.133）
工具	列–行分解 $A = CR$（定理 3.56）	对偶映射 + 零化子
关键一步	$CR$ 的行都是 $R$ 的行的组合，而 $R$ 只有 $c$ 行	$\dim \text{range } T = \dim \text{range } T'$
用到的”外部”定理	无（纯矩阵计算 $+$ 转置）	定理 3.130(a)、定理 3.132
类型	初等：只需矩阵乘法与基的缩减	结构性：需要先建立整套对偶机器

两条路径各有价值：lecture 7 的证法是自足的（不依赖后面的理论，因此可以先讲）；本讲的证法则揭示了更深层的原因——行秩之所以等于列秩，是因为”取对偶”把 $T$ 的值域维数原样保留（定理 3.130(a)），而”取转置”就是”取对偶”在矩阵侧的名字（定理 3.132）。换句话说，$A$ 与 $A^t$ 的秩相同，本质上是 $T$ 与 $T'$ 的秩相同。

这也让我们可以扔掉多余术语：既然行秩恒等于列秩，就没有必要区分两个名字，直接叫秩 (rank) 即可（lecture 7 的 定义 3.58 已经这样定义）。至此 lecture 7 前瞻中”列秩/行秩是什么？为什么相等？与 $\dim \text{range } T$ 有何关系？“三个问题全部有了答案：

$$\text{rank } A = \text{column rank } A = \text{row rank } A = \dim \text{range } T.$$

（其中”列秩 = 行秩”由 lecture 7 的 定理 3.57 或本讲的 定理 3.133 给出，"$= \dim\text{range } T$"由 定理 3.78 给出。）

7. 本讲概念映射 (Summary)

关心的问题	精确形式	编号
”测量”这类映射	线性泛函 $= \mathcal{L}(V,\mathbf{F})$ 的元素	3.108
所有测量手段构成的空间	对偶空间 $V' = \mathcal{L}(V,\mathbf{F})$	3.110
对偶空间有多大	$\dim V' = \dim V$（故 $V \cong V'$）	3.111
怎么”免费”得到 $V'$ 的基	对偶基 $\varphi_j(v_k) = \delta_{jk}$	3.112
$\varphi_j$ 到底在做什么	$\varphi_j(v)$ 就是 $v$ 的第 $j$ 个坐标	3.114
对偶基真的是基吗	是（线性无关 $+$ 长度 $= \dim V'$）	3.116
映射如何”翻过来”	对偶映射 $T'(\varphi) = \varphi \circ T$，$W' \to V'$	3.118
对偶运算的代数性质	$T \mapsto T'$ 线性；$(ST)' = T'S'$（反序）	3.120
”对 $U$ 完全失明”的测量	零化子 $U^0 = \{\varphi : U \subseteq \text{null } \varphi\}$	3.121
零化子是子空间吗	是（$U$ 不必是子空间）	3.124
零化子有多大	$\dim U^0 = \dim V - \dim U$	3.125
$U$ 是否已取到极端	$U^0 = \{0\} \iff U = V$；$U^0 = V' \iff U = \{0\}$	3.127
$T'$ 的核	$\text{null } T' = (\text{range } T)^0$	3.128
满射 vs 单射的对偶	$T$ 满射 $\iff T'$ 单射	3.129
$T'$ 的值域	$\text{range } T' = (\text{null } T)^0$；$\dim \text{range } T' = \dim \text{range } T$	3.130
单射 vs 满射的对偶	$T$ 单射 $\iff T'$ 满射	3.131
对偶在坐标里是什么	$\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^t$	3.132
行秩与列秩	相等（用对偶一举证明）	3.133

两条主线：

主线一（结构）：$T \mapsto T'$ 是一次反转方向的操作，它保持线性、把复合反序（3.120），并且在坐标里恰好就是转置（3.132）。lecture 7 中那个”看起来只是行列互换”的转置，至此获得了它真正的身份。

主线二（互换）：零化子是这场戏的主角。它把”子空间有多大”翻译成”有多少测量会失明”（3.125），从而把 $T$ 的核与值域在 $T'$ 一侧对调：

$$\text{null } T' = (\text{range } T)^0, \qquad \text{range } T' = (\text{null } T)^0.$$

于是”$T$ 满射 $\iff$ $T'$ 单射”、”$T$ 单射 $\iff$ $T'$ 满射”，以及"$\text{rank } A = \text{rank } A^t$"都成了同一件事的不同说法。

本讲给每个向量空间配了一个”测量空间” $V'$，给每个映射配了一个反向的”拉回” $T'$，并发现核与值域在对偶下互换——这使得 lecture 6 的”信息守恒”与 lecture 9 的”商掉零空间”都获得了对偶形式的重新表述。

8. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

• 对偶与商空间的统一：$\dim U^0 = \dim V/U$（由 3.125 与 命题 3.105），而且习题 3.F.33 给出自然同构 $(V/U)' \cong U^0$。这说明”商掉 $U$“与”零化掉 $U$“是同一件事的两侧。更一般地，$\text{null } T' = (\text{range } T)^0$ 与 lecture 9 的 $V/\text{null } T \cong \text{range } T$ 是同一个现象吗？
• 双重对偶：$V'' = (V')'$。习题 3.F.32 说 $V \cong V''$ 的同构 $\Lambda$ 不需要选基，因此被称为”自然的”；而 $V \cong V'$ 必须选基。“自然”究竟指什么？（范畴论会用”自然变换”给出精确答案。）
• 对偶映射的”逆”：由 3.129 与 3.131，$T$ 可逆 $\iff$ $T'$ 可逆（习题 3.F.17），并且 $(T^{-1})' = (T')^{-1}$。于是”求逆”与”取对偶”可以交换——这与 3.86（$\mathcal{M}(T^{-1}) = (\mathcal{M}(T))^{-1}$）是一条链上的三件事。
• 向后看的总结：Chapter 3 至此结束。我们用三讲（7、8、9）把”线性映射”这一主题处理完：表示（矩阵）、可逆性与同构、乘除运算（乘积与商）。Chapter 4 会短暂离开线性映射去清理多项式（为 Chapter 5 的特征值做准备），Chapter 5 起回到算子——而算子恰是 定义 5.1 所定义的、$\mathcal{L}(V)$ 中的元素。
• 对偶在后面的作用：$V'$ 与 $T'$ 在后面章节中还会以”内积空间上的伴随 (adjoint) $T^*$“的形式再次出现（Chapter 7）。请留意 $T'$ 与 $T^*$ 的区别与联系——前者不需要内积，后者需要。

9. Exercises (Homework Assignment 10: LADR 3.F: 6, 8, 13, 22, 34)

编号说明：与前面各讲一致，正文与定理引用一律使用第四版编号（3.108–3.133）。但习题题号来自第三版。两版的 3.F 习题错位较大（第三版有 37 题，第四版只有 33 题，且中间顺序不同），因此下表同时给出两版题号。

第三版题号（作业）	第四版对应题	考查内容
3.F.6	3.F.24	$\Gamma(\varphi) = (\varphi(v_1),\dots,\varphi(v_m))$：张成 $\leftrightarrow$ 单射，线性无关 $\leftrightarrow$ 满射
3.F.8	3.F.10	求基 $1, x-5, \dots, (x-5)^m$ 的对偶基
3.F.13	3.F.14	$\mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}^2$ 的对偶映射的具体计算
3.F.22	3.F.22	$(U + W)^0 = U^0 \cap W^0$（本题两版编号相同）
3.F.34	3.F.32	双重对偶 $V''$：$\Lambda v = (\varphi \mapsto \varphi(v))$ 是自然同构

记号对照：第三版用 $V'$ 记对偶空间、$T'$ 记对偶映射，$U^0$ 记零化子；第四版沿用同样的记号。第三版的”零化子”定义与其后的 $(U+W)^0$ 等结论与第四版逐条对应（仅编号不同）。

3.F.6

Suppose $V$ is finite-dimensional and $v_1, \dots, v_m \in V$. Define a linear map $\Gamma : V' \to \mathbf{F}^m$ by

$$\Gamma(\varphi) = \big(\varphi(v_1), \dots, \varphi(v_m)\big).$$

(a) Prove that $v_1, \dots, v_m$ spans $V$ if and only if $\Gamma$ is injective.

(b) Prove that $v_1, \dots, v_m$ is linearly independent if and only if $\Gamma$ is surjective.

solution:

先验证 $\Gamma$ 确实是线性的：对 $\varphi, \psi \in V'$ 与 $\lambda \in \mathbf{F}$，

$$\Gamma(\varphi+\psi) = \big((\varphi+\psi)(v_1),\dots\big) = \big(\varphi(v_1)+\psi(v_1),\dots\big) = \Gamma(\varphi) + \Gamma(\psi),$$ $$\Gamma(\lambda\varphi) = \big(\lambda\varphi(v_1),\dots\big) = \lambda\,\Gamma(\varphi). \qquad\checkmark$$

(a) 张成 $\iff$ 单射。

($\Longrightarrow$) 设 $v_1,\dots,v_m$ 张成 $V$。设 $\varphi \in \text{null } \Gamma$，即

$$\varphi(v_j) = 0 \quad \text{对每个 } j = 1,\dots,m.$$

任取 $v \in V$。因为 $v_1,\dots,v_m$ 张成 $V$，存在 $c_1,\dots,c_m \in \mathbf{F}$ 使 $v = \sum_j c_jv_j$。由 $\varphi$ 的线性性，

$$\varphi(v) = \sum_{j=1}^m c_j\varphi(v_j) = 0.$$

由 $v$ 任意得 $\varphi = 0$。故 $\text{null } \Gamma = \{0\}$，由 定理 3.15 得 $\Gamma$ 单射。

($\Longleftarrow$) 设 $\Gamma$ 单射。设 $U = \text{span}(v_1,\dots,v_m)$，并假设 $U \neq V$。则由习题 3.F.4，存在非零的 $\varphi \in V'$ 使 $\varphi(u) = 0$ 对一切 $u \in U$ 成立。特别地 $\varphi(v_j) = 0$（$j = 1,\dots,m$），故 $\Gamma(\varphi) = (0,\dots,0) = \Gamma(0)$。由 $\Gamma$ 单射得 $\varphi = 0$，与 $\varphi \neq 0$ 矛盾。故 $U = V$，即 $v_1,\dots,v_m$ 张成 $V$。

(b) 线性无关 $\iff$ 满射。

设 $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^m, V)$ 定义为

$$T(a_1,\dots,a_m) = a_1v_1 + \dots + a_mv_m$$

（即把标准基送到 $v_j$）。注意 $\Gamma$ 正是 $T$ 的对偶映射：对 $\varphi \in V'$ 与 $a \in \mathbf{F}^m$，

$$\big(T'(\varphi)\big)(a) = (\varphi \circ T)(a) = \varphi\Big(\sum_j a_jv_j\Big) = \sum_j a_j\varphi(v_j),$$

而按 $\mathbf{F}^m$ 的对偶基（坐标函数）展开，$\sum_j a_j\varphi(v_j)$ 正是”以 $\Gamma(\varphi)$ 为坐标的泛函在 $a$ 处的取值”，即 $T'(\varphi)$ 的坐标就是 $\Gamma(\varphi)$。于是

$$\Gamma \text{ 满射} \iff T' \text{ 满射}.$$

由对偶的基本定理（定理 3.131：$T$ 单射 $\iff$ $T'$ 满射），

$$T' \text{ 满射} \iff T \text{ 单射}.$$

而由 定理 3.15，$T$ 单射 $\iff$ $\text{null } T = \{0\}$，即 $a_1v_1+\dots+a_mv_m = 0$ 只有零解 $\iff$ $v_1,\dots,v_m$ 线性无关。

（也可以直接验证，不引用对偶定理。）

($\Longleftarrow$) 设 $v_1,\dots,v_m$ 线性无关。任取 $(c_1,\dots,c_m) \in \mathbf{F}^m$，我们造出 $\varphi \in V'$ 使 $\varphi(v_j) = c_j$。

取 $v_1,\dots,v_m$ 的扩充 $v_1,\dots,v_m,w_1,\dots,w_r$ 为 $V$ 的基（有限维时可行，基扩充定理）。由线性映射引理，存在 $\varphi \in V'$ 使

$$\varphi(v_j) = c_j \ (j=1,\dots,m), \qquad \varphi(w_k) = 0 \ (k=1,\dots,r).$$

则 $\Gamma(\varphi) = (c_1,\dots,c_m)$。由 $(c_1,\dots,c_m)$ 任意得 $\Gamma$ 满射。

($\Longrightarrow$) 设 $\Gamma$ 满射，并设 $\sum_j c_jv_j = 0$。因为 $\Gamma$ 满射，存在 $\varphi \in V'$ 使 $\Gamma(\varphi) = (c_1,\dots,c_m)$，即 $\varphi(v_j) = c_j$。则

$$\varphi\Big(\sum_{j=1}^m c_jv_j\Big) = \sum_{j=1}^m c_j\varphi(v_j) = \sum_{j=1}^m c_j^2.$$

左端的自变量 $\sum_j c_jv_j = 0$，故左端为 $0$，于是 $\sum_j c_j^2 = 0$。

• 若 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$，则每个 $c_j^2 \ge 0$，和为零迫使所有 $c_j = 0$。
• 若 $\mathbf{F} = \mathbf{C}$，则 $\sum_j c_j^2 = 0$ 并不直接给出 $c_j = 0$（例如 $1^2 + i^2 = 0$）。改用共轭：由 $\Gamma$ 满射，同样可找到 $\psi \in V'$ 使 $\psi(v_j) = \overline{c_j}$，于是 $$\psi\Big(\sum_j c_jv_j\Big) = \sum_j c_j\overline{c_j} = \sum_j |c_j|^2 = 0,$$ 故所有 $c_j = 0$。

于是 $v_1,\dots,v_m$ 线性无关。$\blacksquare$

要点：这道题是 定理 3.129 与 定理 3.131 的”落地版”——对偶把张成与线性无关，翻译成单射与满射：

关于 $v_1,\dots,v_m$	关于 $\Gamma = T'$
$v_1,\dots,v_m$ 张成 $V$	$\Gamma$ 单射（等价于 $T$ 满射）
$v_1,\dots,v_m$ 线性无关	$\Gamma$ 满射（等价于 $T$ 单射）

两个方向的难度并不对称：(a) 的 ($\Longrightarrow$) 与 (b) 的 ($\Longleftarrow$) 都是”用基扩充 $+$ 线性映射引理”直取；而 (a) 的 ($\Longleftarrow$) 与 (b) 的 ($\Longrightarrow$) 需要反向论证——(a) 用了”真子空间上必存在非零泛函”(3.F.4)，(b) 用了共轭技巧（这也是复数域必须单独处理的原因）。这与 定理 3.127 那一对”放大镜”定理是同一类型的手法：要证子空间”足够大”，就去证明它上面的泛函”足够少”。

3.F.8

Suppose $m$ is a positive integer. (a) Show that $1, x-5, \dots, (x-5)^m$ is a basis of $\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$.

(b) What is the dual basis of the basis in part (a)?

solution:

(a) 是基。

由二项式定理，对每个 $k = 0,1,\dots,m$，

$$(x-5)^k = \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}x^i(-5)^{k-i},$$

右端是 $1, x, \dots, x^k$ 的线性组合。因此

$$\text{span}\big(1, x-5, \dots, (x-5)^m\big) \subseteq \text{span}(1,x,\dots,x^m) = \mathcal{P}_m(\mathbf{R}).$$

反之，上式可以逐个反解：$1 = 1$；$x = (x-5) + 5$；$x^2 = (x-5)^2 + 10(x-5) + 25$；一般地

$$x^k = \sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}5^{\,k-i}(x-5)^i,$$

故 $\text{span}(1,x,\dots,x^m) \subseteq \text{span}(1,x-5,\dots,(x-5)^m)$。于是两组列表张成同一个空间。

又该列表的长度是 $m+1 = \dim \mathcal{P}_m(\mathbf{R})$，而它张成整个空间，故由 定理 2.38 它是基。（也可以逐次比较首项系数证明线性无关：若 $\sum_k a_k(x-5)^k = 0$，则按 $k$ 从大到小依次看出 $a_m = a_{m-1} = \dots = 0$。）

(b) 对偶基。

记 $\varphi_j$ 为要找的对偶基元素（$j = 0,1,\dots,m$），即要求

$$\varphi_j\big((x-5)^k\big) = \begin{cases}1, & k = j,\\ 0, & k \neq j.\end{cases}$$

对多项式 $p$，考虑它在 $x = 5$ 处的 Taylor 展开：

$$p(x) = \sum_{k=0}^{m}\frac{p^{(k)}(5)}{k!}(x-5)^k,$$

其中 $p^{(k)}$ 表示 $k$ 阶导数（约定 $p^{(0)} = p$）。这个展开是 (a) 中基的坐标表示，于是读取第 $j$ 个坐标的泛函就是

$$\boxed{\ \varphi_j(p) = \frac{p^{(j)}(5)}{j!}\ }\qquad (j = 0,1,\dots,m).$$

验证：把 $p = (x-5)^k$ 代入。当 $k < j$ 时 $p^{(j)} \equiv 0$，故 $\varphi_j((x-5)^k) = 0$；当 $k \ge j$ 时

$$\big[(x-5)^k\big]^{(j)} = k(k-1)\cdots(k-j+1)(x-5)^{k-j} = \frac{k!}{(k-j)!}(x-5)^{k-j},$$

在 $x = 5$ 处取值为 $0$（若 $k > j$）或为 $j!$（若 $k = j$）。故

$$\varphi_j\big((x-5)^k\big) = \frac{1}{j!}\cdot\begin{cases}0, & k > j,\\ j!, & k = j,\end{cases} = \begin{cases}0, & k \neq j,\\ 1, & k = j.\end{cases} \qquad\checkmark$$

因此基 $1, x-5, \dots, (x-5)^m$ 的对偶基是

$$\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_m, \qquad \varphi_j(p) = \frac{p^{(j)}(5)}{j!}.$$

要点：这是 定理 3.114（“对偶基就是坐标读取器”）的一个漂亮实例：

• 标准基 $1,x,\dots,x^m$ 的对偶基是 $\varphi_j(p) = p^{(j)}(0)/j!$（第四版习题 3.F.9 / 第三版 3.F.7，即 Taylor 展开在 $0$ 处的系数）；
• 把展开中心从 $0$ 平移到 $5$，对偶基就相应地变成在 $5$ 处取值。

所以”求对偶基”这件事，本质上就是把”坐标”这个概念写成公式。而一般情形下这个过程总可以照此进行：只要有一组能把 $p$ 唯一展开的表示式，那么”取第 $j$ 个系数”就是第 $j$ 个对偶基元素。这也解释了 定理 3.112 的良定义性为什么由线性映射引理保证——我们只是在指定”读哪个坐标”。

3.F.13

Define $T : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}^2$ by

$$T(x,y,z) = (4x + 5y + 6z,\ 7x + 8y + 9z).$$

Suppose $\varphi_1, \varphi_2$ denotes the dual basis of the standard basis of $\mathbf{R}^2$ and $\psi_1, \psi_2, \psi_3$ denotes the dual basis of the standard basis of $\mathbf{R}^3$. (a) Describe the linear functionals $T'(\varphi_1)$ and $T'(\varphi_2)$.

(b) Write $T'(\varphi_1)$ and $T'(\varphi_2)$ as linear combinations of $\psi_1, \psi_2, \psi_3$.

solution:

准备：由 Example 3.113，对偶基就是坐标函数：

$$\varphi_1(u_1,u_2) = u_1, \qquad \varphi_2(u_1,u_2) = u_2,$$ $$\psi_1(x,y,z) = x, \qquad \psi_2(x,y,z) = y, \qquad \psi_3(x,y,z) = z.$$

(a) 描述 $T'(\varphi_1)$ 与 $T'(\varphi_2)$。

按 定义 3.118，$T'(\varphi) = \varphi \circ T$。对每个 $(x,y,z) \in \mathbf{R}^3$，

$$\begin{aligned} \big(T'(\varphi_1)\big)(x,y,z) &= \varphi_1\big(T(x,y,z)\big) = \varphi_1\big(4x+5y+6z,\ 7x+8y+9z\big)\\ &= 4x + 5y + 6z,\\[2mm] \big(T'(\varphi_2)\big)(x,y,z) &= \varphi_2\big(T(x,y,z)\big) = \varphi_2\big(4x+5y+6z,\ 7x+8y+9z\big)\\ &= 7x + 8y + 9z. \end{aligned}$$

用语言描述：

• $T'(\varphi_1)$ 是”取 $T$ 的像的第一个坐标”的线性泛函，公式为 $(x,y,z) \mapsto 4x+5y+6z$；
• $T'(\varphi_2)$ 是”取 $T$ 的像的第二个坐标”的线性泛函，公式为 $(x,y,z) \mapsto 7x+8y+9z$。

换句话说：$T'(\varphi_k)$ 就是把 $T$ 的第 $k$ 行读出来当成一个线性泛函。

(b) 用 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 线性表示。

因为 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 是 $\mathbf{R}^3$ 的（标准基的）对偶基，由 定理 3.114，

$$\boxed{\ T'(\varphi_1) = 4\psi_1 + 5\psi_2 + 6\psi_3, \qquad T'(\varphi_2) = 7\psi_1 + 8\psi_2 + 9\psi_3.\ }$$

验证（按 定理 3.114 的系数公式 $\psi_j(v) = v$ 的第 $j$ 个坐标）：对任意 $(x,y,z)$，

$$(4\psi_1 + 5\psi_2 + 6\psi_3)(x,y,z) = 4x + 5y + 6z = \big(T'(\varphi_1)\big)(x,y,z). \qquad\checkmark$$

要点：把 (b) 的答案与 lecture 7 的 定义 3.31 对照，会发现一个漂亮的事实：

$$\mathcal{M}(T) = \begin{pmatrix}4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}, \qquad \mathcal{M}(T') = \begin{pmatrix}4 & 7\\ 5 & 8\\ 6 & 9\end{pmatrix} = \big(\mathcal{M}(T)\big)^t.$$

$T'(\varphi_1)$ 的坐标恰好是 $\mathcal{M}(T)$ 的第一行，$T'(\varphi_2)$ 的坐标是第二行——这正是 定理 3.132（$\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^t$）的具体体现，也解释了为什么”对偶”对应”转置”：取对偶把”行”变成了”列”。这道题因此是把 定理 3.132 手算了一遍。

3.F.22

Suppose $U, W$ are subspaces of $V$. Show that $(U + W)^0 = U^0 \cap W^0$.

solution:

验证两个包含。（本题在第三版与第四版中编号相同，都是 3.F.22。）

设 $\varphi \in (U+W)^0$。因为 $U \subseteq U+W$，对任意 $u \in U$（它也是 $U+W$ 的元素）有 $\varphi(u) = 0$，即 $\varphi \in U^0$。同理 $\varphi \in W^0$。故

$$(U + W)^0 \subseteq U^0 \cap W^0.$$

反之设 $\varphi \in U^0 \cap W^0$。任取 $x \in U + W$，写成 $x = u + w$（$u \in U$，$w \in W$）。则

$$\varphi(x) = \varphi(u) + \varphi(w) = 0 + 0 = 0.$$

故 $\varphi \in (U+W)^0$，即 $U^0 \cap W^0 \subseteq (U+W)^0$。

两者合起来给出

$$(U + W)^0 = U^0 \cap W^0. \qquad\blacksquare$$

要点：证明只有两行，但结论很值得记住——“和”的零化子等于零化子的”交”。用第 5.1 节的”尺”的比喻读一遍：一个测量手段对 $U + W$ 完全失明，当且仅当它同时对 $U$ 失明、也对 $W$ 失明——这几乎是不言自明的（因为 $U+W$ 的元素就是 $U$ 的元素与 $W$ 的元素之和，而”失明”对加法天然传播）。

与之成对的是第四版 3.F.22(b)（即第三版 3.F.23）：

$$(U \cap W)^0 = U^0 + W^0,$$

它把”交”变成了”和”。两条合起来正是一张 De Morgan 式的对换表：

子空间	零化子
$U + W$	$U^0 \cap W^0$（并变交）
$U \cap W$	$U^0 + W^0$（交变并）

(b) 的证明比 (a) 麻烦：(a) 只需逐点验证（“失明”是逐点的条件），而 (b) 需要一个维数论证——因为”$\varphi$ 在 $U\cap W$ 上失明”这个条件比"$\varphi = \varphi_1+\varphi_2$"更弱，直接构造分解并不容易。标准做法是先用 定理 3.125 与子空间和的维数公式证明两边维数相同，再用 (a) 得到一个包含，从而相等。)

3.F.34

The double dual space of $V$, denoted $V''$, is defined to be the dual space of $V'$. In other words, $V'' = (V')'$. Define $\Lambda : V \to V''$ by

$$(\Lambda v)(\varphi) = \varphi(v)$$

for $v \in V$ and $\varphi \in V'$. (a) Show that $\Lambda$ is a linear map from $V$ to $V''$.

(b) Show that if $T \in \mathcal{L}(V)$, then $T'' \circ \Lambda = \Lambda \circ T$, where $T'' = (T')'$.

(c) Show that if $V$ is finite-dimensional, then $\Lambda$ is an isomorphism from $V$ onto $V''$.

solution:

先弄清 $V''$ 的元素是什么。 $V'$ 的元素是”给向量赋数”的泛函；$V'' = (V')'$ 的元素则是”给泛函赋数”的对象。而 $\Lambda$ 的思路非常直接：一个向量 $v$ 天然就能给泛函赋数——把 $\varphi$ 送到 $\varphi(v)$。所以 $V$ 的元素自动成为 $V''$ 的元素，不需要任何选择。

(a) $\Lambda$ 线性。

设 $v, w \in V$，$\lambda \in \mathbf{F}$，$\varphi \in V'$。由 $\varphi$ 的线性性，

$$\begin{aligned} \big(\Lambda(v+w)\big)(\varphi) &= \varphi(v+w) = \varphi(v) + \varphi(w) = (\Lambda v)(\varphi) + (\Lambda w)(\varphi) = \big(\Lambda v + \Lambda w\big)(\varphi),\\ \big(\Lambda(\lambda v)\big)(\varphi) &= \varphi(\lambda v) = \lambda\varphi(v) = \lambda(\Lambda v)(\varphi) = \big(\lambda\,\Lambda v\big)(\varphi). \end{aligned}$$

（注意第二个等号组里同时用到：$\varphi$ 线性、以及 $V''$ 上加法与数乘的逐点定义。）由 $\varphi$ 任意得 $\Lambda(v+w) = \Lambda v + \Lambda w$ 与 $\Lambda(\lambda v) = \lambda\Lambda v$。故 $\Lambda$ 线性。

(b) $T'' \circ \Lambda = \Lambda \circ T$。

两边都是 $V \to V''$ 的线性映射，只需逐点验证它们在每个 $\varphi \in V'$ 上的取值。设 $v \in V$，$\varphi \in V'$。

$$\begin{aligned} \big((T'' \circ \Lambda)v\big)(\varphi) &= \big(T''(\Lambda v)\big)(\varphi) = \big((\Lambda v)\circ T'\big)(\varphi) = (\Lambda v)\big(T'(\varphi)\big)\\ &= \big(T'(\varphi)\big)(v) = (\varphi \circ T)(v) = \varphi(Tv),\\[2mm] \big((\Lambda \circ T)v\big)(\varphi) &= \big(\Lambda(Tv)\big)(\varphi) = \varphi(Tv). \end{aligned}$$

两者相等。其中第二个等号用了 $T'' = (T')'$ 的定义（$T''(\psi) = \psi \circ T'$），第四个等号用了 $\Lambda$ 的定义，第五个等号用了对偶映射的定义。

由于等式对一切 $\varphi \in V'$ 成立，得 $(T'' \circ \Lambda)v = (\Lambda \circ T)v$；再由 $v$ 任意得

$$T'' \circ \Lambda = \Lambda \circ T. \qquad\checkmark$$

这个等式的含义：$\Lambda$ 把 $V$ 与 $V''$ 之间的”翻译”与算子的作用交换了位置。也就是说，下面这个图是交换的：

$$\begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{\ \ T\ \ } & V\\ {\scriptstyle \Lambda}\big\downarrow & & \big\downarrow{\scriptstyle \Lambda}\\ V'' & \xrightarrow{\ \ T''\ \ } & V'' \end{array}$$

在范畴论的语言里，这正是说 $\Lambda$ 是一个自然变换——它不依赖任何基的选择。

(c) $V$ 有限维时 $\Lambda$ 是同构。

第一步：$\Lambda$ 是单射。 设 $v \in \text{null } \Lambda$，即 $\Lambda v = 0$，也就是

$$\varphi(v) = 0 \quad \text{对一切 } \varphi \in V'.$$

若 $v \neq 0$，则由习题 3.F.3（有限维空间中非零向量上必存在取值为 $1$ 的泛函），存在 $\varphi \in V'$ 使 $\varphi(v) = 1 \neq 0$，矛盾。故 $v = 0$，即 $\text{null } \Lambda = \{0\}$。

第二步：维数相同。

$$\dim V'' = \dim V' = \dim V,$$

两次应用 定理 3.111（$\dim W' = \dim W$，先取 $W = V$，再取 $W = V'$）。

第三步：收尾。 $\Lambda$ 是有限维空间之间的单射线性映射，且 $\dim V'' = \dim V$，故由 定理 3.65，$\Lambda$ 是满射，从而可逆。于是

$$\Lambda : V \xrightarrow{\ \cong\ } V''$$

是 $V$ 到 $V''$ 之上的同构。$\blacksquare$

要点：这道题是 lecture 10 的一个总结性结论，它把”对偶”的两层含义都点了出来：

(一) 为什么叫”双重对偶”，以及它与 $V \cong V'$ 的本质差别。

• $V \cong V'$（定理 3.111）只告诉我们两个空间维数相同，但要写出具体的同构，必须选一组基（然后用对偶基；不同基给出不同同构）。
• 而 $\Lambda : V \to V''$ 根本不需要选基——它的定义 $(\Lambda v)(\varphi) = \varphi(v)$ 只用到”$\varphi$ 作用在 $v$ 上”这一件事。所以这个同构被称为自然的 (natural)。

这正是 Axler 在教材里特意加的那段旁注的意思：”$V$ 与 $V'$ 同构，但找出一个 $V$ 到 $V'$ 上的同构通常需要选择 $V$ 的一组基。相比之下，$V$ 到 $V''$ 上的同构 $\Lambda$ 不需要选择基，因此被认为更自然。”

(二) (b) 说明了”自然”的技术含义。 一个同构如果只是”维数恰好相同”，那它没有任何理由与 $V$ 上的算子 $T$ 发生关系；而 $\Lambda$ 满足 $T'' \circ \Lambda = \Lambda \circ T$，即它与所有算子都相容。这就是”自然”的实际内容：不只空间同构，整个作用的结构也同构。

（三）与第三版编号的对应：本题在第三版是 3.F.34，在第四版是 3.F.32（第四版把原 3.F.32、3.F.33 两条并入别处并添了新题，导致错位）。题干与结论两版完全一致。