1. Introduction (引言：为什么我们需要”造”新的向量空间？)

到目前为止，我们手上的向量空间大致是”现成”的：$\mathbf{F}^n$、$\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$、$\mathbf{F}^{m,n}$、$\mathcal{L}(V,W)$，以及某个映射的零空间与值域。本讲要做的是一件更主动的事——用两个已知的向量空间，造出一个新的向量空间。

动机来自于两件在数学里反复出现的操作：

• “打包”：如果我们同时关心两个（或 $m$ 个）空间里的量，最自然的做法是把它们并排放在一个列表里。平面上一个点的坐标 $(x,y)$ 其实就是把两个实数打包；物理里”位置 $+$ 动量”是打包；函数 $f: \{1,\dots,m\} \to \mathbf{R}$ 的记录方式 $(f(1),\dots,f(m))$ 也是打包。这就是乘积空间 (product)，它回答的问题是：把若干个空间并排放置，得到的是什么空间？
• “粘合”：如果我们只关心某个向量在忽略掉一部分信息之后的剩余内容呢？例如在 $\mathbf{R}^2$ 中，我们只关心一个点落在哪一条平行于某方向的直线上，而不管它在这条直线上的具体位置——这时”直线”本身就成了新的”点”。这就是商空间 (quotient)，它回答的问题是：把某些向量视为”无差别”，会得到什么空间？

这两个操作恰好是互为对偶的：乘积是”往里加维度”（$\dim$ 相加），商是”往外减维度”（$\dim$ 相减）。而本讲最后会看到，商空间不是玩具——它是线性映射基本定理的几何化身：任何一个映射 $T$ 都把 $V$ 压缩成 $V/\text{null } T$，而后者与 $\text{range } T$ 同构（定理 3.107）。lecture 6 里那条”信息守恒律”，本讲会给出它最漂亮的解释。

本讲涉及的向量空间不止一个，因此按惯例约定：本讲出现的所有向量空间都在同一个域 $\mathbf{F}$ 上，否则谈论它们之间的关系没有意义。

2. Products of Vector Spaces (向量空间的乘积)

2.1 Definition: product of vector spaces (3.87)

向量空间之间怎么会有”乘积”？先回顾一个有数学分析背景的读者一定见过的对象：两个集合 $A, B$ 的笛卡尔积 (Cartesian product)

$$A \times B = \{(a,b) : a \in A,\ b \in B\},$$

用语言描述就是：各取它们一个元素，组成的所有有序对的集合。

而向量空间本身就是集合。于是思路立刻就有了——但仅仅”是一个集合”还不够：我们想要的是向量空间，所以还必须在乘积集合上定义加法与数乘，并且定义方式要让”新空间继承了旧空间的结构”。

Definition 3.87 (product of vector spaces)
设 $V_1,\dots,V_m$ 是 $\mathbf{F}$ 上的向量空间。

• 乘积 $V_1 \times \dots \times V_m$ 定义为 $$V_1 \times \dots \times V_m = \{(v_1,\dots,v_m) : v_1 \in V_1,\dots,v_m \in V_m\}.$$
• $V_1 \times \dots \times V_m$ 上的加法定义为 $$(u_1,\dots,u_m) + (v_1,\dots,v_m) = (u_1+v_1,\dots,u_m+v_m).$$
• $V_1 \times \dots \times V_m$ 上的标量乘法定义为 $$\lambda(v_1,\dots,v_m) = (\lambda v_1,\dots,\lambda v_m).$$

为什么加法要”逐位相加”？ 因为没有别的自然选择。乘积空间的元素是一个列表，列表的第 $k$ 位来自 $V_k$；而 $V_k$ 里唯一已有的加法就是 $V_k$ 自己的加法。所以逐位相加不是”规定”，而是唯一能被旧结构推导出来的做法——新空间的运算必须建立在旧空间的运算之上。这与 lecture 7 中”矩阵加法为什么逐元素相加”的因果完全一致：那里的理由是”向量相加 = 坐标逐位相加”，这里的理由更直接——积空间的一个元素就是若干个向量的并排记录，对记录做加法就是逐条做加法。

2.2 Example: product of $\mathcal{P}_5(\mathbf{R})$ and $\mathbf{R}^3$ (3.88)

Example 3.88
$\mathcal{P}_5(\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^3$ 的元素是长度为 2 的列表，第一位是 $\mathcal{P}_5(\mathbf{R})$ 中的元素，第二位是 $\mathbf{R}^3$ 中的元素。

例如 $(5 - 6x + 4x^2,\ (3,8,7))$ 与 $(x + 9x^5,\ (2,2,2))$ 都是 $\mathcal{P}_5(\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^3$ 的元素。它们的和定义为

$$(5 - 6x + 4x^2,\ (3,8,7)) + (x + 9x^5,\ (2,2,2)) = (5 - 5x + 4x^2 + 9x^5,\ (5,10,9)).$$

又 $2(5 - 6x + 4x^2,\ (3,8,7)) = (10 - 12x + 8x^2,\ (6,16,14))$。

要点：乘积空间里不同”种类”的对象可以并排放置。第一位是多项式、第二位是三元组，这种”混合”正是乘积空间的用途——它让我们可以把一个多项式和一个向量当成一个整体来讨论。（这在后续讨论”不变子空间分解”时会非常有用：$V = V_1 \oplus \dots \oplus V_m$ 的一个元素，本质上就是 $V_1 \times \dots \times V_m$ 的一个元素。）

2.3 Theorem: product of vector spaces is a vector space (3.89)

乘积本身当然是一个集合，但它是向量空间吗？

Theorem 3.89 (product of vector spaces is a vector space)
设 $V_1,\dots,V_m$ 是 $\mathbf{F}$ 上的向量空间。则 $V_1 \times \dots \times V_m$ 是 $\mathbf{F}$ 上的向量空间。

证明：（Axler 把验证留给读者，这里补完关键几条。）

空间公理里最有内容的是”封闭性”两条，其余都是逐位继承：

• 加法封闭：设 $(u_1,\dots,u_m), (v_1,\dots,v_m) \in V_1 \times \dots \times V_m$。每一位 $u_k, v_k$ 都在 $V_k$ 中，而 $V_k$ 对加法封闭，故 $u_k + v_k \in V_k$，于是 $$(u_1+v_1,\dots,u_m+v_m) \in V_1 \times \dots \times V_m.$$
• 数乘封闭：设 $\lambda \in \mathbf{F}$，$(v_1,\dots,v_m) \in V_1 \times \dots \times V_m$。由 $V_k$ 对数乘封闭，$\lambda v_k \in V_k$，故 $\lambda(v_1,\dots,v_m) \in V_1 \times \dots \times V_m$。
• 加法单位元：是 $(0,\dots,0)$，其中第 $k$ 位的 $0$ 是 $V_k$ 的加法单位元。
• 加法逆元：$(v_1,\dots,v_m)$ 的加法逆元是 $(-v_1,\dots,-v_m)$。

至于交换律、结合律、分配律，它们全部在”逐位”意义下成立——例如

$$(u_1,\dots,u_m) + (v_1,\dots,v_m) = (u_1+v_1,\dots,u_m+v_m) = (v_1+u_1,\dots,v_m+u_m),$$

最后一步只是把每个 $V_k$ 里的加法交换律用了一遍。没有一步需要新想法，这正是”结构继承”的含义。$\blacksquare$

这条定理的价值：它说明”并排放置”这个操作不会漏出向量空间的范畴。换句话说，$\mathbf{F}$-向量空间这一类对象在乘积运算下是封闭的。这也让我们可以安心地把乘积空间当作与 $\mathbf{F}^n$、$\mathcal{P}_m$ 同等的讨论对象。

2.4 Example: $\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3 \neq \mathbf{R}^5$ but $\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3 \cong \mathbf{R}^5$ (3.90)

Example 3.90
$\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3$ 的元素是形如

$$\big((x_1,x_2),\ (x_3,x_4,x_5)\big)$$

的列表，而 $\mathbf{R}^5$ 的元素是形如

$$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$$

的列表。

虽然它们看起来很像，$\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3$ 不等于 $\mathbf{R}^5$：前者的元素是长度为 2 的列表（第一项本身是一个长度为 2 的列表，第二项是长度为 3 的列表），后者的元素是长度为 5 的列表。这是两种不同类型的对象。

不过，线性映射

$$\big((x_1,x_2),\ (x_3,x_4,x_5)\big) \mapsto (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$$

是 $\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3$ 到 $\mathbf{R}^5$ 之上的同构（它显然线性，且可逆——把括号拆掉/合上即可）。因此这两个空间同构，尽管它们不相等。

这个例子的重点：请务必把相等与同构区分开。$\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3 \neq \mathbf{R}^5$，但 $\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3 \cong \mathbf{R}^5$。由 定理 3.70，只要能算出维数就能预言这个同构（$2 + 3 = 5$，见 定理 3.92）。

为什么 Axler 说这个同构”如此自然，以至于我们应该把它看作重新贴标签”？ 因为没有人会真的去写出它——它的定义方式不依赖任何基或人为选择，只是”把嵌套的列表摊平”。这类”不依赖选择”的同构在数学里被称为自然同构 (natural isomorphism)，比那些依赖选基的同构更受青睐。（Lecture 10 的习题 3.F.32 会给出另一个著名的例子：$V \cong V''$ 是自然的，而 $V \cong V'$ 则不是。）有些人不严谨地说 ”$\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^3$ 就是 $\mathbf{R}^5$“，这在技术上不正确，但它抓住了”通过重贴标签等同起来”的精神。

2.5 Example: a basis of $\mathcal{P}_2(\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^2$ (3.91)

下面这个例子是 定理 3.92 证明中所用思路的预演。

Example 3.91
考虑 $\mathcal{P}_2(\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^2$ 中这个长度为 5 的列表：

$$(1,(0,0)),\ (x,(0,0)),\ (x^2,(0,0)),\ (0,(1,0)),\ (0,(0,1)).$$

这个列表线性无关，并且张成 $\mathcal{P}_2(\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^2$。因此它是 $\mathcal{P}_2(\mathbf{R}) \times \mathbf{R}^2$ 的一组基。

为什么？ 前三个向量只在第一位非零，它们正好”负责”第一位（$\mathcal{P}_2(\mathbf{R})$ 的标准基被搬了过来，其余位补 $0$）；后两个向量只在第二位非零，负责第二位（$\mathbf{R}^2$ 的标准基）。任何元素 $(p, (a,b))$ 都可以按第一位、第二位分别展开，两组基向量互不干扰。

这个”分块”的直觉就是维数可加的全部内容：把每个分量的基搬到乘积空间里（其余位补 $0$），拼起来就是乘积空间的基。

2.6 Theorem: dimension of a product is the sum of dimensions (3.92)

Theorem 3.92 (dimension of a product is the sum of dimensions)
设 $V_1,\dots,V_m$ 是有限维向量空间。则 $V_1 \times \dots \times V_m$ 有限维，且

$$\dim(V_1 \times \dots \times V_m) = \dim V_1 + \dots + \dim V_m.$$

证明：对每个 $V_k$ 取一组基。对每个 $V_k$ 的每个基向量，构造 $V_1 \times \dots \times V_m$ 中这样一个元素：第 $k$ 位放该基向量，其余各位放 $0$。设所有这样得到的向量组成的列表为 $\mathcal{B}$。

• $\mathcal{B}$ 张成 $V_1 \times \dots \times V_m$：任取 $(v_1,\dots,v_m)$。对每个 $k$，把 $v_k$ 用 $V_k$ 的基展开；这个展开式逐位搬进乘积空间，正好给出 $(v_1,\dots,v_m)$ 用 $\mathcal{B}$ 的线性组合表示（第 $k$ 位的组合系数只作用在第 $k$ 位的那批向量上）。
• $\mathcal{B}$ 线性无关：设 $\mathcal{B}$ 的一个线性组合等于 $0 = (0,\dots,0)$。看第 $k$ 位：只有来自 $V_k$ 基向量的那些项在这一位有贡献，故这一位给出 $V_k$ 的基的一个线性组合等于 $0$；由基线性无关，这些系数全为 $0$。对每个 $k$ 都如此，故所有系数为 $0$。

因此 $\mathcal{B}$ 是 $V_1 \times \dots \times V_m$ 的一组基。它的长度是

$$\dim V_1 + \dots + \dim V_m,$$

这正是所求。$\blacksquare$

解读：$\dim$ 在乘积下可加。这与 lecture 2/3 中的结论形成对照——在和空间 $V_1 + \dots + V_m$（subspace sum）中，维数一般不可加（会有重复计算），只有当和是直和时才能相加。第 3 节就要把这两件事精确地联系起来。

3. Products and Direct Sums (乘积与直和)

3.1 Theorem: products and direct sums (3.93)

现在把”乘积”与 lecture 2 就学过的”直和”联系起来。设 $V_1,\dots,V_m$ 是同一个空间 $V$ 的子空间。我们想比较两种对象：

• 乘积 $V_1 \times \dots \times V_m$：元素是列表 $(v_1,\dots,v_m)$；
• 和 $V_1 + \dots + V_m$：元素是和 $v_1 + \dots + v_m$。

这两者之间的桥梁显然是”把列表加起来”这个映射。

Theorem 3.93 (products and direct sums)
设 $V_1,\dots,V_m$ 是 $V$ 的子空间。定义线性映射

$$\Gamma : V_1 \times \dots \times V_m \to V_1 + \dots + V_m, \qquad \Gamma(v_1,\dots,v_m) = v_1 + \dots + v_m.$$

则 $V_1 + \dots + V_m$ 是直和当且仅当 $\Gamma$ 是单射。

证明：由 定理 3.15，$\Gamma$ 单射当且仅当 $\text{null } \Gamma = \{0\}$，即把 $0$ 写成 $v_1 + \dots + v_m$（每个 $v_k \in V_k$）的唯一方式，是取每个 $v_k = 0$。而这正是 lecture 2 中直和的定义（$0$ 的表示唯一）。故两者等价。$\blacksquare$

为什么这条定理重要？ 它把”直和”这个看起来关于表示唯一性的抽象条件，翻译成了一个关于映射的条件。而映射是有工具的（单射、值域、基本定理），于是抽象的直和概念立刻变得可以计算——这就是下一节的内容。

值得注意的点：$\Gamma$ 总是满射的，因为 $V_1 + \dots + V_m$ 的定义就是”所有 $v_1 + \dots + v_m$ 的集合”。所以对 $\Gamma$ 而言，“单射”与”可逆”是同一件事；定理 3.94 的说法正是利用了这一点。

3.2 Theorem: a sum is a direct sum iff dimensions add up (3.94)

Theorem 3.94 (a sum is a direct sum if and only if dimensions add up)
设 $V$ 有限维，$V_1,\dots,V_m$ 是 $V$ 的子空间。则 $V_1 + \dots + V_m$ 是直和当且仅当

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) = \dim V_1 + \dots + \dim V_m.$$

证明：定理 3.93 中的 $\Gamma$ 是满射（由和空间的定义）。于是由线性映射基本定理（定理 3.21），$\Gamma$ 单射当且仅当

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) = \dim(V_1 \times \dots \times V_m).$$

再由 定理 3.92，$\dim(V_1 \times \dots \times V_m) = \dim V_1 + \dots + \dim V_m$。把两件事合起来，$V_1 + \dots + V_m$ 是直和当且仅当

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) = \dim V_1 + \dots + \dim V_m. \qquad\blacksquare$$

因果骨架一句话：

$$\text{直和} \overset{\text{3.93}}{\iff} \Gamma \text{ 单射} \overset{\text{3.21}}{\iff} \dim(\text{domain}) = \dim(\text{range}) \overset{\text{3.92}}{\iff} \dim \text{可加}.$$

这条定理为什么”应该”成立？ 直觉上，“直和”的含义就是各个子空间互不重叠（唯一的公共元素是 $0$）。如果它们互不重叠，那么把它们拼起来时每个子空间的每一维都被完整地保留，总维数自然就是各维数之和。反之，只要有任何”重叠”，就意味着某些维数被重复计算了两次，总维数就会小于和。所以

$$\dim(V_1 + \dots + V_m) \le \dim V_1 + \dots + \dim V_m$$

永远成立，而取等号恰好刻画了”没有重叠”，也就是直和。

Remark（$m = 2$ 的特殊情形）
当 $m = 2$ 时，还有一个更初等的证明：由 lecture 2 的 1.46 与 2.43 组合即可得到”$V_1 + V_2$ 是直和 $\iff \dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2$“。本定理把这件事推广到了任意多个子空间，而证明反而更短——因为我们换用了更好的工具（映射与基本定理），而不是更复杂的计算。这又一次印证了 Axler 的思想：挑对视角，证明会短一半。

4. Quotients of Vector Spaces (向量空间的商)

4.1 Notation: $v + U$ (3.95) 与 Example (3.96)

前面我们把空间”并排打包”（乘积），现在要做一件相反的事：把某些向量视为无差别，从而”粘起来”一部分维度。第一步是描述”把子空间搬到别处”这个操作。

Notation 3.95 ($v + U$)
设 $v \in V$，$U \subseteq V$。则 $v + U$ 是 $V$ 的如下子集：

$$v + U = \{v + u : u \in U\}.$$

Example 3.96
设 $U = \{(x,2x) \in \mathbf{R}^2 : x \in \mathbf{R}\}$，即 $\mathbf{R}^2$ 中过原点、斜率为 $2$ 的直线。则

$$(17,20) + U$$

是 $\mathbf{R}^2$ 中过点 $(17,20)$、斜率为 $2$ 的直线。因为 $(10,20) \in U$ 而 $(17,20) \in (17,20)+U$，可见 $(17,20)+U$ 就是把 $U$ 向右平移 7 个单位得到的。

Definition 3.97 (translate)
对 $v \in V$ 与 $U \subseteq V$，集合 $v + U$ 称为 $U$ 的一个平移 (translate)。

Remark（“平移”这个称谓比”仿射子集”更直观）
第三版把这样的集合称为 $U$ 的仿射子集 (affine subset)，第四版改用了平移。“affine”一词源自拉丁语 affinis（“邻近的、有亲缘关系的”），Euler 用它来表示”与……相关的”；它在数学里是一整套术语的开端：仿射空间、仿射变换、仿射组合、仿射包……这些名字的共同点是”仿射”本身不告诉你任何图像——你必须先学会”仿射 = 保持线性组合且系数和为 $1$“这条代数定义，才能明白它在说什么。

而 translate 直接就是几何动作：把 $U$ 整体滑动到别处。于是”$v + U$ 是什么”这个问题的答案变成一句可以立刻想象的话——$U$ 被平移了，而不是”某个满足某种封闭性条件的子集”。两者描述的是同一批对象，但入手方式相反：

	第三版：仿射子集	第四版：平移
出发点	性质：对仿射组合封闭	构造：把子空间整体搬走
回答”它是什么”	需要先定义仿射组合	一句话：$U$ 动了位置
是否自带原点	不明确	明确：$U$ 是”过原点的那一个”
维数	需要先证明”方向空间”良定义	直接就是 $\dim U$（位置不影响维数）

对 lecture 9 来说，“平移”还有两个额外的便利：

1. 它保留了”原来的 $U$ 是谁”这条信息——说”$U$ 的平移”时，方向空间是随即给出的；而孤立地说”$A$ 是仿射子集”时，你并不知道它平行于哪个子空间（要先证 $A = v + U$ 且 $U$ 唯一）。
2. 它让商空间的定义变得顺理成章：$V/U$ 就是”$U$ 的所有平移”，于是”$V/U$ 的元素是层”这一图像不需要额外解释（见 定义 3.99）。

因此本讲正文一律采用平移；在引用第三版习题原文时，保留那里的”仿射子集”字样，并在对照表中注明两者是同一概念。

Example 3.98 (translates)

• 若 $U = \{(x,2x) \in \mathbf{R}^2 : x \in \mathbf{R}\}$，则 $\mathbf{R}^2$ 中所有斜率为 $2$ 的直线都是 $U$ 的平移。
• 更一般地，若 $U$ 是 $\mathbf{R}^2$ 中的一条直线，则 $U$ 的所有平移恰好是 $\mathbf{R}^2$ 中所有平行于 $U$ 的直线。
• 若 $U = \{(x,y,0) \in \mathbf{R}^3 : x,y \in \mathbf{R}\}$，则 $U$ 的平移是 $\mathbf{R}^3$ 中所有平行于 $xy$ 平面的平面。
• 更一般地，若 $U$ 是 $\mathbf{R}^3$ 中的一个平面，则 $U$ 的所有平移恰好是所有平行于 $U$ 的平面。

几何图像（看到这里时一定要在脑海中构想）：平移 = 把过原点的那个子空间整体”拖走”到别处。在 $\mathbf{R}^2$ 中，一维子空间是过原点的直线，“它的所有平移”就是这个方向的全部平行直线——这些直线铺满了整个平面，且两两不交。在 $\mathbf{R}^3$ 中，二维子空间是过原点的平面，“它的所有平移”就是这个方向的全部平行平面，同样铺满空间、两两不交。

这个”铺满 + 两两不交”的图像，就是下一节”商空间”的全部几何内容。它和”把平面按平行线分层”是同一件事。

4.2 Definition: quotient space, $V/U$ (3.99) 与 Example (3.100)

Definition 3.99 (quotient space, $V/U$)
设 $U$ 是 $V$ 的子空间。则商空间 (quotient space) $V/U$ 是 $U$ 的所有平移构成的集合。即

$$V/U = \{v + U : v \in V\}.$$

为什么要把”平移”当作新的向量？

回到 $U = \{(x,2x)\}$ 的例子。$U$ 的平移是斜率为 $2$ 的所有平行直线。现在设想我问你：“点 $(17,20)$ 在哪条斜率为 $2$ 的直线上？“这个问题的答案不是一个点，而是一条直线——即 $(17,20) + U$。也就是说，当我们决定”不再区分同一条直线上的点”时，直线本身就成了新的基本对象。

这正是”商”的含义：商的英文 quotient 来自拉丁语 quotiens（“多少次”），本意是”把……分成多少份”。$V/U$ 就是把 $V$ 按 $U$ 的方向”分层”，每一层压成一个点。$U$ 本身被压成了原点（$U = 0 + U$），因为它就是”过原点的那一层”。

Example 3.100 (quotient spaces)

• 若 $U = \{(x,2x) \in \mathbf{R}^2 : x \in \mathbf{R}\}$，则 $\mathbf{R}^2/U$ 是 $\mathbf{R}^2$ 中所有斜率为 $2$ 的直线构成的集合。
• 若 $U$ 是 $\mathbf{R}^3$ 中过原点的一条直线，则 $\mathbf{R}^3/U$ 是 $\mathbf{R}^3$ 中所有平行于 $U$ 的直线构成的集合。
• 若 $U$ 是 $\mathbf{R}^3$ 中过原点的一个平面，则 $\mathbf{R}^3/U$ 是所有平行于 $U$ 的平面构成的集合。

4.3 Theorem: two translates are equal or disjoint (3.101)

在上面的几何图像里，“平行直线”有一个关键性质：两条平行直线要么完全重合，要么完全不相交——绝不会有”交于一点”的情形。这条几何事实是让 $V/U$ 成为向量空间的技术前提，我们把它写成定理。

Theorem 3.101 (two translates of a subspace are equal or disjoint)
设 $U$ 是 $V$ 的子空间，$v, w \in V$。则

$$v - w \in U \iff v + U = w + U \iff (v+U) \cap (w+U) \neq \varnothing.$$

证明：分三步，正是上面三个命题的循环。

第一步：$v - w \in U \Longrightarrow v + U = w + U$。 设 $v - w \in U$。若 $u \in U$，则

$$v + u = w + \underbrace{\big((v-w) + u\big)}_{\in U} \in w + U,$$

（用到 $U$ 对加法封闭）。故 $v + U \subseteq w + U$。同理（把 $v$ 与 $w$ 对调），$w + U \subseteq v + U$。故 $v+U = w+U$。

第二步：$v + U = w + U \Longrightarrow (v+U) \cap (w+U) \neq \varnothing$。 若两者相等，则 $v \in v+U = w+U$，故 $v$ 属于交集，交集非空。

第三步：$(v+U) \cap (w+U) \neq \varnothing \Longrightarrow v - w \in U$。 设交集中有元素，即存在 $u_1, u_2 \in U$ 使

$$v + u_1 = w + u_2.$$

则

$$v - w = u_2 - u_1 \in U,$$

（用到 $U$ 对加法与取逆封闭）。$\blacksquare$

这条定理在说什么？ 它是一句”非此即彼”的陈述：两个平移要么重合，要么不交（因为只要相交，就立刻推出它们相等，于是”部分重叠”这种情形被彻底排除）。用等价关系的语言说，$v \sim w \iff v - w \in U$ 是 $V$ 上的一个等价关系，而 $V/U$ 正是它的商集（这也解释了”商空间”这个名字的来历）。请把这个图像记住：$V/U$ 的元素是 $V$ 的一个划分（partition）。

4.4 Definition: addition and scalar multiplication on $V/U$ (3.102)

现在要让 $V/U$ 成为向量空间。元素是平移 $v+U$，那么两个平移怎么相加？最自然的想法是 “代表元相加”，以几何直观来说，就是我先做一个平移然后再做另一个平移：

$$(v+U) + (w+U) \overset{?}{=} (v+w) + U.$$

Definition 3.102 (addition and scalar multiplication on $V/U$)
设 $U$ 是 $V$ 的子空间。则在 $V/U$ 上定义加法与标量乘法为

$$(v+U) + (w+U) = (v+w) + U, \qquad \lambda(v+U) = (\lambda v) + U$$

对一切 $v, w \in V$ 与一切 $\lambda \in \mathbf{F}$ 成立。

但这里有一个真正的危险，必须专门处理：平移 $v + U$ 的”代表元 $v$“并不唯一。由 定理 3.101，只要 $v' - v \in U$，就有 $v' + U = v + U$——同一个平移有无穷多个代表元。于是”$v + U$ 与 $w+U$ 的和”这个定义里出现了 $v$ 和 $w$ 这两个任意选择的名字：如果我换成另一个代表元 $v'$（它代表同一个平移），算出来的 $(v' + w) + U$ 会不会不一样？

如果会不一样，上面这个”定义”就是假的——它没有定义任何东西。这正是”商空间”比”乘积空间”麻烦的地方：乘积空间的元素有唯一表示（列表），商空间的元素没有。下一节的定理就是在证明这个定义确实良定义 (well defined)。

4.5 Theorem: quotient space is a vector space (3.103)

Theorem 3.103 (quotient space is a vector space)
设 $U$ 是 $V$ 的子空间。则 $V/U$ 在 定义 3.102 所定义的加法与标量乘法下是一个向量空间。

证明：我们要证明两件事——(i) 运算良定义；(ii) 八条空间公理成立。其中 (ii) 是例行验证（Axler 留给读者），真正的内容在 (i)。

(i-a) 加法的良定义性。 假设 $v_1, v_2, w_1, w_2 \in V$ 满足

$$v_1 + U = v_2 + U \quad\text{且}\quad w_1 + U = w_2 + U.$$

由 定理 3.101，

$$v_1 - v_2 \in U \quad\text{且}\quad w_1 - w_2 \in U.$$

因为 $U$ 是子空间，对加法封闭，故

$$(v_1 - v_2) + (w_1 - w_2) \in U,$$

即 $(v_1 + w_1) - (v_2 + w_2) \in U$。再用一次 定理 3.101，得

$$(v_1 + w_1) + U = (v_2 + w_2) + U,$$

这正是”用两套不同代表元算出的和相同”。故加法的定义有意义。

(i-b) 标量乘法的良定义性。 仍设 $v_1 + U = v_2 + U$，即 $v_1 - v_2 \in U$。设 $\lambda \in \mathbf{F}$。因为 $U$ 对数乘封闭，

$$\lambda(v_1 - v_2) \in U, \quad\text{即}\quad \lambda v_1 - \lambda v_2 \in U.$$

由 定理 3.101，$(\lambda v_1) + U = (\lambda v_2) + U$。故标量乘法的定义有意义。

(ii) 空间公理。 现在加法与标量乘法都已良定义，八条公理都是**“抬到代表元上验证”**的例行工作。例如加法交换律：

$$(v+U) + (w+U) = (v+w)+U = (w+v)+U = (w+U) + (v+U),$$

中间一步只是 $V$ 中的加法交换律。又

• $V/U$ 的加法单位元是 $0 + U$（它等于 $U$ —— 这正是”$U$ 被压成原点”的意思）；
• $v + U$ 的加法逆元是 $(-v) + U$。

其余公理同理。$\blacksquare$

这里着重介绍这个证明，是因为它是本课程中第一个”良定义性”（well-definedness）占主导的证明。在数学里，只要你用一个非唯一的名字去定义一个对象，就必须回头检查”换一个名字结果是否相同”。商空间是这种情形最经典的来源；后面在抽象代数（商群、商环）、拓扑（商拓扑）里会反复遇到同一套模式。识别出”这里需要检查良定义”本身，就是一项重要的数学能力。

4.6 Definition: quotient map, $\pi$ (3.104)

要把 $V$ 与 $V/U$ 联系起来，最自然的映射是”把每个向量送到它所在的那一层”。

Definition 3.104 (quotient map, $\pi$)
设 $U$ 是 $V$ 的子空间。商映射 (quotient map) $\pi$ 是如下定义的线性映射

$$\pi : V \to V/U, \qquad \pi(v) = v + U$$

对每个 $v \in V$ 成立。

请验证 $\pi$ 确实是线性的：由 定义 3.102，

$$\pi(v + w) = (v+w) + U = (v+U) + (w+U) = \pi(v) + \pi(w),$$ $$\pi(\lambda v) = (\lambda v) + U = \lambda(v+U) = \lambda\,\pi(v).$$

（注意这里”验证线性”几乎是累赘的——因为 $V/U$ 上的运算本来就是照着这个要求定义的，这与 lecture 7 中”矩阵乘法被复合强制出来”的因果如出一辙。）

$\pi$ 的核心性质：$\pi$ 是满射（因为 $V/U$ 的元素按定义都形如 $v+U = \pi(v)$），而它的零空间恰好是 $U$：

$$\pi(v) = 0 + U \iff v + U = U \iff v \in U,$$

（第二步用了 定理 3.101）。用一句话概括：

$$\boxed{\ \pi \text{ 是满射，且 } \text{null } \pi = U.\ }$$

这句话就是”商掉 $U$“的精确含义：商映射把 $U$ 整个压成零，把其余部分一一对应地送到 $V/U$。

记号说明：$\pi$ 同时依赖 $U$ 与 $V$，但这两个空间通常由上下文明确，故不写进记号。

4.7 Proposition: dimension of quotient space (3.105)

Proposition 3.105 (dimension of quotient space)
设 $V$ 有限维，$U$ 是 $V$ 的子空间。则

$$\dim V/U = \dim V - \dim U.$$

证明：设 $\pi$ 是从 $V$ 到 $V/U$ 的商映射。由上一节的观察，$\text{null } \pi = U$ 且 $\text{range } \pi = V/U$。把这两个值代入线性映射基本定理（定理 3.21）：

$$\dim V = \dim \text{null } \pi + \dim \text{range } \pi = \dim U + \dim V/U,$$

移项即得所求。$\blacksquare$

解读：$\dim$ 在商运算下相减——与 定理 3.92 中乘积的”相加”恰好相反。这也符合几何直觉：把 $V$ 按 $\dim U$ 维的方向”分层”，剩下的”层参数”就只有 $\dim V - \dim U$ 个自由度。例如 $\mathbf{R}^2$ 按一条直线（$1$ 维）分层，得到的”所有平行直线”只需一个参数刻画，故 $\dim(\mathbf{R}^2/U) = 2 - 1 = 1$。$\checkmark$

这条命题与 定理 3.94 的对称美：直和说”$\dim$ 可加”，商说”$\dim$ 可减”。而这两件事本质上是同一件事——都会在第 5 节由 $\tilde{T}$ 统一起来。

4.8 Notation: $\tilde{T}$ (3.106) 与 Theorem: null space and range of $\tilde{T}$ (3.107)

现在我们来到本讲的高潮：每一个线性映射都可以被”修复”成一个单射，而修复的代价就是把定义域商掉它的零空间。

Notation 3.106 ($\tilde{T}$)
设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$。定义 $\tilde{T} : V/(\text{null } T) \to W$ 为

$$\tilde{T}(v + \text{null } T) = Tv.$$

又是良定义性问题：$\tilde{T}$ 的输入是平移 $v + \text{null } T$，代表元不唯一。设 $u, v \in V$ 满足

$$u + \text{null } T = v + \text{null } T.$$

由 定理 3.101，$u - v \in \text{null } T$，故

$$T(u-v) = 0, \quad\text{即}\quad Tu = Tv.$$

换任何代表元算出来的像都一样，所以 $\tilde{T}$ 确实良定义。（“验证 $\tilde{T}$ 是线性的”是例行工作，不再赘述。）

这个构造的动机：$T$ 不是单射，是因为零空间里那些方向被压成了零——它们携带的信息被彻底抹掉了，因此不同输入可能对应到同一个输出。既然这些方向上的差别”本来就无关紧要”，那我们干脆宣布它们等价，把它们商掉。商掉之后再问”输出去哪了”，就不会再撞车了。这就是 $\tilde{T}$ 的全部想法：把 $T$ 的”信息损失”从映射的性质搬到了定义域的结构里。

Theorem 3.107 (null space and range of $\tilde{T}$)
设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$。则

• (a) $\tilde{T} \circ \pi = T$，其中 $\pi$ 是 $V$ 到 $V/(\text{null } T)$ 的商映射；
• (b) $\tilde{T}$ 是单射；
• (c) $\text{range } \tilde{T} = \text{range } T$；
• (d) $V/(\text{null } T)$ 与 $\text{range } T$ 是同构的向量空间。

证明：

(a) 对 $v \in V$，

$$(\tilde{T} \circ \pi)(v) = \tilde{T}(\pi(v)) = \tilde{T}(v + \text{null } T) = Tv.$$

这就是著名的交换图 (commutative diagram)：

$$\begin{array}{ccc} V & \xrightarrow{\ \ T\ \ } & W\\ {\scriptstyle \pi}\big\downarrow & \ \ \nearrow_{\tilde{T}} & \\ V/(\text{null } T) & & \end{array}$$

“先商掉零空间、再用 $\tilde{T}$ 送出去”与”直接用 $T$ 送出去”结果相同。等价地，$T$ 穿过 (factors through) 商映射。

(b) 设 $v \in V$ 且 $\tilde{T}(v + \text{null } T) = 0$。则 $Tv = 0$，即 $v \in \text{null } T$。由 定理 3.101，

$$v + \text{null } T = 0 + \text{null } T.$$

故 $\text{null } \tilde{T} = \{0 + \text{null } T\}$，即 $\tilde{T}$ 单射（定理 3.15）。

(c) 由 $\tilde{T}$ 的定义，$\text{range } \tilde{T} = \{Tv : v \in V\} = \text{range } T$。

(d) 把 $\tilde{T}$ 看作以 $\text{range } T$ 为陪域的映射（而不是以 $W$ 为陪域）。由 (c) 它是满射，由 (b) 它是单射，故它是可逆的（定理 3.63），即 $V/(\text{null } T)$ 到 $\text{range } T$ 之上的同构。$\blacksquare$

这条定理的意义（本讲最值得记住的一句话）：

$$\boxed{\ V/\text{null } T \ \cong\ \text{range } T\ }$$

它是 lecture 6 那条”信息守恒律”的结构化版本。回顾 lecture 6：

	lecture 6 的说法	lecture 9 的说法
公式	$\dim V = \dim \text{null } T + \dim \text{range } T$	$V/\text{null } T \cong \text{range } T$
内容	只有维数层面的守恒	连空间本身都同构
丢失的信息	被”减掉”的维度	被商掉的那个子空间

也就是说：(d) 是基本定理的升级版——它不只是说”维数配平”，而是明确告诉你被商掉的部分与剩下的部分如何拼回原来的空间。把 命题 3.105 用到 $U = \text{null } T$ 上，立刻得到

$$\dim V/\text{null } T = \dim V - \dim \text{null } T = \dim \text{range } T,$$

两边取维数就重新得到了基本定理。所以本讲并没有推翻 lecture 6，而是给出了它的几何解释。

顺带一提：$\tilde{T}$ 的构造也是 lecture 6 前瞻里那个问题的答案——“若 $T$ 不是单射，能否通过商掉 $\text{null } T$ 把它修复成单射？“答案是：能，而且修好之后它恰好就是 $\text{range } T$ 的同构复制品。

5. 本讲概念映射 (Summary)

关心的问题	精确形式	编号
”并排放置若干空间”	$V_1 \times \dots \times V_m = \{(v_1,\dots,v_m)\}$	3.87
”并排后还是向量空间吗”	是，$\mathbf{F}$-向量空间在乘积下封闭	3.89
”并排后维数如何变化”	$\dim$ 可加：$\dim(V_1 \times \dots \times V_m) = \sum \dim V_k$	3.92
”直和的映射刻画”	$\sum V_k$ 是直和 $\iff \Gamma(v_1,\dots,v_m) = \sum v_k$ 单射	3.93
”直和的维数判据”	$\sum V_k$ 是直和 $\iff \dim \sum V_k = \sum \dim V_k$	3.94
”把子空间搬到别处”	平移 $v + U = \{v+u : u \in U\}$	3.95, 3.97
”平移何时重合”	$v-w \in U \iff v+U = w+U \iff$ 相交非空	3.101
”把平移当作新向量”	商空间 $V/U = \{v+U : v \in V\}$	3.99
”商空间的运算良定义吗”	良定义（关键：$U$ 对加法、数乘封闭）	3.103
”商之后维数如何变化”	$\dim$ 可减：$\dim V/U = \dim V - \dim U$	3.105
”如何把 $T$ 修成单射”	$V/\text{null } T \cong \text{range } T$	3.107

一条主线：

乘积回答”把空间并排放置会得到什么”——答案是维数相加（定理 3.92）；商回答”把某些向量视为无差别会得到什么”——答案是维数相减（命题 3.105）。而两者通过 $\Gamma$ 与 $\pi$ 这两个映射联系起来，最终在 定理 3.107 处汇合：任何线性映射 $T$ 都把定义域”分成”零空间与其余部分，其余部分无损地送达值域。

本讲造出了两种新空间，并证明它们在向量空间的范畴内封闭；而商空间最终成为线性映射基本定理的几何化身——

$$V/\text{null } T \cong \text{range } T.$$

6. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

• 对偶空间：把”线性映射到 $\mathbf{F}$“这一特殊情形单独拿出来研究，会得到什么？为什么 $V' = \mathcal{L}(V,\mathbf{F})$ 值得拥有自己的名字？（Lecture 10）
• 对偶映射：$T: V \to W$ 会诱导 $T' : W' \to V'$——注意方向反了。这个”反向”与转置、与 定理 3.68 的反序律是否同源？
• 零化子 (annihilator)：$U^0 = \{\varphi \in V' : \varphi(u) = 0,\ \forall u \in U\}$。它是 $U$ 在 $V'$ 中的”影子”，并且 $\dim U + \dim U^0 = \dim V$——与 命题 3.105 的形式完全一致，是巧合吗？
• 转置的来历：$\mathcal{M}(T') = (\mathcal{M}(T))^t$。lecture 7 中我们”定义”了转置并把它与对偶类比（3.C.14/3.C.15 的讨论），现在可以给出严格解释了。
• 行秩 = 列秩：能否用对偶给出比 lecture 7 中 3.57 更简短的证明？（Axler 正是这么做的，见 3.133。）
• 自然的同构：$V \cong V'$ 需要选一组基，而 $V \cong V''$ 不需要（习题 3.F.32）。“自然”在这里到底指什么？

7. Exercises (Homework Assignment 9: LADR 3.E: 5, 10, 11, 13, 20)

编号说明：与前面各讲一致，正文与定理引用一律使用第四版编号（3.87–3.107）。但作业题号来自第三版。两版的 3.E 习题有 4 题左右的错位，因此下表同时给出两版题号。

第三版题号（作业）	第四版对应题	考查内容
3.E.5	3.E.4	$\mathcal{L}(V, W_1 \times \dots \times W_m) \cong \mathcal{L}(V,W_1) \times \dots \times \mathcal{L}(V,W_m)$
3.E.10	3.E.9	任意一族平移之交，要么是某个子空间的平移，要么是空集
3.E.11	3.E.12	仿射组合 $\sum \lambda_jv_j$（$\sum\lambda_j = 1$）是平移；且维数 $\le m-1$
3.E.13	3.E.15	把 $V/U$ 的基与 $U$ 的基”拼起来”即得 $V$ 的基
3.E.20	3.E.19	$S \mapsto S \circ \pi$ 是 $\mathcal{L}(V/U,W)$ 到 $\{T : U \subseteq \text{null } T\}$ 上的同构

术语对照：第三版称 $v + U$ 为 $U$ 的仿射子集 (affine subset)，第四版改称平移 (translate)——后者更直观，理由见第 4.1 节末尾的 Remark。本讲正文采用第四版术语，本节的习题陈述则保留第三版原文的用词。（“仿射”这套词并非废弃：仿射组合、仿射包在数学中仍是标准术语，本节的 3.E.11 就会用到它们——因为”取系数和为 $1$ 的线性组合”这个操作本身没有更好的名字。）

3.E.5

Suppose $W_1, \dots, W_m$ are vector spaces. Prove that $\mathcal{L}(V, W_1 \times \dots \times W_m)$ and $\mathcal{L}(V, W_1) \times \dots \times \mathcal{L}(V, W_m)$ are isomorphic vector spaces.

solution:

第一步：定义”逐个分量取出”的映射。 对每个 $k$，设

$$\pi_k : W_1 \times \dots \times W_m \to W_k, \qquad \pi_k(w_1,\dots,w_m) = w_k$$

是第 $k$ 个投影。$\pi_k$ 显然是线性的。现在定义

$$\Psi : \mathcal{L}(V, W_1 \times \dots \times W_m) \longrightarrow \mathcal{L}(V,W_1) \times \dots \times \mathcal{L}(V,W_m),$$ $$\Psi(T) = \big(\pi_1 \circ T,\ \dots,\ \pi_m \circ T\big).$$

（注意 $\pi_k \circ T \in \mathcal{L}(V,W_k)$，所以右端确实是乘积空间的元素——这正是”乘积空间由它的分量刻画”这一直觉的映射化。）

第二步：$\Psi$ 线性。 由复合的线性性与乘积空间的逐分量运算，对 $S, T$ 与 $\lambda \in \mathbf{F}$，

$$\begin{aligned} \Psi(S+T) &= \big(\pi_1 \circ (S+T),\dots\big) = \big(\pi_1\circ S + \pi_1\circ T,\dots\big) = \Psi(S) + \Psi(T),\\ \Psi(\lambda T) &= \big(\pi_1 \circ (\lambda T),\dots\big) = \big(\lambda(\pi_1\circ T),\dots\big) = \lambda\,\Psi(T). \qquad\checkmark \end{aligned}$$

第三步：$\Psi$ 单射。 设 $\Psi(T) = (0,\dots,0)$，即 $\pi_k \circ T = 0$ 对每个 $k$ 成立。任取 $v \in V$，则

$$Tv = (w_1,\dots,w_m) \quad\text{其中 } w_k = \pi_k(Tv) = (\pi_k \circ T)(v) = 0,$$

故 $Tv = (0,\dots,0)$。由 $v$ 任意，$T = 0$，于是 $\text{null } \Psi = \{0\}$。$\checkmark$

第四步：$\Psi$ 满射。 任取 $(T_1,\dots,T_m) \in \mathcal{L}(V,W_1) \times \dots \times \mathcal{L}(V,W_m)$。定义

$$T : V \to W_1 \times \dots \times W_m, \qquad Tv = \big(T_1v,\dots,T_mv\big).$$

$T$ 是线性的（逐分量验证：$T(v+v') = (T_1v+T_1v',\dots) = Tv + Tv'$，齐性同理）。又对每个 $k$，

$$(\pi_k \circ T)(v) = \pi_k\big(T_1v,\dots,T_mv\big) = T_kv,$$

故 $\pi_k \circ T = T_k$，即 $\Psi(T) = (T_1,\dots,T_m)$。$\checkmark$

结论：$\Psi$ 是可逆线性映射，故两个空间同构。$\blacksquare$

要点：这道题说的是”从 $V$ 到乘积空间的线性映射，等价于一族各分量上的线性映射”。这与 定理 3.92（乘积空间维数相加）互为表里：由 定理 3.72，

$$\dim \mathcal{L}\Big(V, \prod_k W_k\Big) = (\dim V)\sum_k \dim W_k = \sum_k (\dim V)(\dim W_k) = \dim \prod_k \mathcal{L}(V,W_k),$$

两者维数相同——但上面的构造性证明更强：它不仅说明同构存在，还把同构明确写了出来（“取分量”），而且不需要任何有限维假设。

3.E.10

Prove that the intersection of every collection of affine subsets of $V$ is either an affine subset of $V$ or the empty set.

solution:

设 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 的一族平移（第三版称之为仿射子集），下面证明 $\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A$ 要么是空集，要么是某个子空间的平移。

第一步：每个平移都是某一个等价关系的等价类。 设 $A = v + U$（$U$ 是 $V$ 的子空间）。由 定理 3.101，

$$x \in v + U \iff x - v \in U \iff x + U = v + U.$$

也就是说，$A$ 恰好是”相差属于 $U$“这个等价关系的一个等价类。特别地：同一个平移的任意两个代表元之差都属于 $U$。

方向空间是唯一的。 这后面还会用到，先证一下：若 $v + U = x + W$（$U, W$ 都是子空间），则 $U = W$。

• $v \in v + U = x + W$，故 $v - x \in W$。任取 $u \in U$，则 $v + u \in v + U = x + W$，即 $v + u - x \in W$；而 $v - x \in W$，$W$ 对减法封闭，故 $u \in W$。于是 $U \subseteq W$。
• 把 $v$ 与 $x$、$U$ 与 $W$ 的角色对调，同理得 $W \subseteq U$。

因此 $U = W$。所以”$A$ 的方向空间”与代表元的选取无关，是一个内禀的量。

第二步：若交集非空，取一个公共点。 设 $x \in \bigcap_{A\in\mathcal{A}} A$。对每个 $A$，由第一步存在子空间 $U_A$ 使 $A = x + U_A$（因为 $x \in A$，可以把 $A$ 写成”以 $x$ 为代表元”的形式）。

于是

$$\bigcap_{A\in\mathcal{A}} A = \bigcap_{A\in\mathcal{A}} \big(x + U_A\big) = x + \bigcap_{A\in\mathcal{A}} U_A.$$

第二个等号需要双向验证（下面两段合起来才证完”两集合相等”）：

• 正向（$\subseteq$）：设 $y \in \bigcap_{A\in\mathcal{A}} A$。则对每个 $A \in \mathcal{A}$ 都有 $y \in A = x + U_A$，这等价于

  $$y - x \in U_A.$$

  由于上式对每个 $A \in \mathcal{A}$ 都成立，故 $y - x \in \bigcap_{A\in\mathcal{A}} U_A$，于是 $y = x + (y-x) \in x + \bigcap_{A\in\mathcal{A}} U_A$。

• 反向（$\supseteq$）：设 $y \in x + \bigcap_{A\in\mathcal{A}} U_A$。则存在 $u \in \bigcap_{A\in\mathcal{A}} U_A$ 使 $y = x + u$。任取 $A_0 \in \mathcal{A}$。因为 $u \in \bigcap_{A} U_A \subseteq U_{A_0}$，所以

  $$y = x + u \in x + U_{A_0} = A_0.$$

  这里 $A_0 \in \mathcal{A}$ 是任意取的，故 $y$ 属于每一个 $A_0 \in \mathcal{A}$，即

  $$y \in \bigcap_{A \in \mathcal{A}} A.$$

  （这一步正是关键：不能只验证"$y \in x + U_{A_0}$"就停下，必须把它落实为”$y$ 落在交集中”。）

第三步：子空间的交仍是子空间。 容易验证 $\bigcap_{A\in\mathcal{A}} U_A$ 是 $V$ 的子空间（1.34 的三条：$0$ 属于每个 $U_A$；加法与数乘的封闭性逐个子空间继承）。

结论：若交集为空，结论成立；若交集非空，则

$$\bigcap_{A\in\mathcal{A}} A = x + \Big(\bigcap_{A\in\mathcal{A}} U_A\Big),$$

即它是子空间 $\bigcap_A U_A$ 的一个平移。$\blacksquare$

要点：这道题把有限情形推广到了任意一族——有限情形就是第四版 3.E.9（即第三版 3.E.9），它的结论是 $A_1 \cap A_2 = x + (U_1 \cap U_2)$。关键在于第二步的观察：一旦交集非空，就可以把所有平移用同一个公共点重新参数化，于是”求交集”变成”求各方向空间的交”。这也顺带说明了一个事实：平移的方向空间是这个平移的内禀属性（与代表元的选择无关），所以”把方向空间交起来”是有意义的操作。

几何直觉（在 $\mathbf{R}^3$ 中）：一族平行平面的交要么是空集（错开的平面），要么是同一个平面；一族过一条公共直线的平面的交，就是那条直线（共有的方向空间之交降成一维）。“维数只能下降、不会上升”，正是”子空间的交仍是子空间”的几何化身。

3.E.11

Suppose $v_1, \dots, v_m \in V$. Let

$$A = \{\lambda_1v_1 + \dots + \lambda_mv_m : \lambda_1,\dots,\lambda_m \in \mathbf{F} \text{ and } \lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1\}.$$

(a) Prove that $A$ is an affine subset of $V$.

(b) Prove that every affine subset of $V$ that contains $v_1,\dots,v_m$ also contains $A$.

(c) Prove that $A = v + U$ for some $v \in V$ and some subspace $U$ of $V$ with $\dim U \le m-1$.

solution:

(a) $A$ 是平移。

取 $v = v_1$，并令

$$U = \text{span}\big(v_2 - v_1,\ v_3 - v_1,\ \dots,\ v_m - v_1\big).$$

我们证明 $A = v_1 + U$。

$A \subseteq v_1 + U$：设 $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$。则

$$\sum_{j=1}^m \lambda_jv_j = \Big(\sum_{j=1}^m \lambda_j\Big)v_1 + \sum_{j=2}^m \lambda_j\big(v_j - v_1\big) = v_1 + \sum_{j=2}^m \lambda_j\big(v_j - v_1\big),$$

而 $\sum_{j=2}^m \lambda_j(v_j - v_1) \in U$。故该元素属于 $v_1 + U$。

$v_1 + U \subseteq A$：$U$ 的元素形如 $\sum_{j=2}^m \mu_j(v_j - v_1)$。于是

$$v_1 + \sum_{j=2}^m \mu_j(v_j - v_1) = \Big(1 - \sum_{j=2}^m \mu_j\Big)v_1 + \sum_{j=2}^m \mu_jv_j,$$

而系数之和 $\big(1 - \sum_{j\ge2}\mu_j\big) + \sum_{j\ge2}\mu_j = 1$，故这个元素属于 $A$。

因此 $A = v_1 + U$ 是平移（仿射子集）。

(b) $A$ 是最小的这类平移。

设 $B$ 是任一包含 $v_1,\dots,v_m$ 的平移，写 $B = x + W$（$W$ 是子空间，$x \in V$）。因为 $v_1,\dots,v_m \in B$，对每个 $j$ 有

$$v_j - x \in W.$$

特别地，对 $j \ge 2$，

$$v_j - v_1 = (v_j - x) - (v_1 - x) \in W,$$

（$W$ 是子空间，对减法封闭）。故 $v_2 - v_1,\dots,v_m - v_1 \in W$，于是 $U = \text{span}(v_2-v_1,\dots,v_m-v_1) \subseteq W$。又 $v_1 \in B = x + W$，即 $v_1 - x \in W$，故

$$A = v_1 + U \subseteq v_1 + W = (v_1 - x) + \big(x + W\big) = (v_1 - x) + B.$$

需要说明最后这个平移等于 $B$：由 定理 3.101，$v_1 - x \in W$ 给出 $(v_1-x) + W = W$，故

$$(v_1 - x) + B = (v_1-x) + (x + W) = \big((v_1-x)+x\big) + W = v_1 + W = B$$

（中间一步用平移结合律 $(a + (x+W)) = (a+x) + W$）。于是 $A \subseteq B$。

(c) $\dim U \le m-1$。

由 (a)，$U = \text{span}(v_2-v_1,\dots,v_m-v_1)$ 是由 $m-1$ 个向量张成的空间，故

$$\dim U \le m - 1. \qquad\blacksquare$$

要点：$A$ 称为 $v_1,\dots,v_m$ 的仿射包 (affine hull)，它的几何意义是”过这 $m$ 个点的最小的平坦集合”。

• (a) 说它确实是”平坦的”（一个平移）；
• (b) 说它是最小的：任何包含这些点的平移都包含它；
• (c) 给出维数上界：$m$ 个点最多张成 $m-1$ 维——因为在 $\mathbf{R}^2$ 中两点确定一条直线（$2-1=1$ 维），在 $\mathbf{R}^3$ 中三点确定一个平面（$3-1=2$ 维），而共线时维数还会更低。

注意 $U$ 的定义方式：先固定一个点 $v_1$ 作为”原点”，再取其余各点与它的差。这是处理仿射问题的一般手法——仿射空间没有天然的原点，所以我们必须先挑选一个点充当原点，才能把”方向”谈清楚。（这也解释了 (b) 的证明里为什么可以自由地把 $B$ 用不同的点重新参数化。）

3.E.13

Suppose $U$ is a subspace of $V$ and $v_1+U, \dots, v_m+U$ is a basis of $V/U$ and $u_1,\dots,u_n$ is a basis of $U$. Prove that $v_1,\dots,v_m,u_1,\dots,u_n$ is a basis of $V$.

solution:

记这个拼接起来的列表为 $\mathcal{B} = (v_1,\dots,v_m,u_1,\dots,u_n)$。按”线性无关 $+$ 张成”两步证明。

第一步：$\mathcal{B}$ 张成 $V$。 任取 $v \in V$。因为 $v_1+U,\dots,v_m+U$ 是 $V/U$ 的基，它张成 $V/U$，故存在 $c_1,\dots,c_m \in \mathbf{F}$ 使

$$v + U = \big(c_1v_1 + \dots + c_mv_m\big) + U.$$

由 定理 3.101，

$$v - \sum_{j=1}^m c_jv_j \in U.$$

记这个差为 $u$。因为 $u_1,\dots,u_n$ 是 $U$ 的基，存在 $d_1,\dots,d_n \in \mathbf{F}$ 使 $u = \sum_k d_ku_k$。于是

$$v = \sum_{j=1}^m c_jv_j + \sum_{k=1}^n d_ku_k,$$

即 $v$ 是 $\mathcal{B}$ 的线性组合。

第二步：$\mathcal{B}$ 线性无关。 设

$$\sum_{j=1}^m c_jv_j + \sum_{k=1}^n d_ku_k = 0. \tag{$\ast$}$$

把两边”取到 $V/U$ 中”（即作用商映射 $\pi$）。因为 $\pi(u_k) = u_k + U = 0 + U$（$u_k \in U$，由 定理 3.101），后 $n$ 项全部消失，得

$$c_1(v_1+U) + \dots + c_m(v_m+U) = 0 + U.$$

因为 $v_1+U,\dots,v_m+U$ 线性无关（它是基），故

$$c_1 = \dots = c_m = 0.$$

代回 $(\ast)$ 得 $\sum_k d_ku_k = 0$。因为 $u_1,\dots,u_n$ 线性无关，故 $d_1 = \dots = d_n = 0$。

于是所有系数为 $0$，$\mathcal{B}$ 线性无关。

结论：$\mathcal{B}$ 既线性无关又张成 $V$，故是 $V$ 的一组基。$\blacksquare$

要点：这道题给出了”由商空间与子空间的基拼出原空间的基”的处方，其证明手法值得记住：要证一半向量（$v_j$）的系数为零，就把整个等式投影到商空间，让另一半（$u_k$）自动消失。这与本讲 命题 3.105 的 $\dim V/U = \dim V - \dim U$ 完全吻合——因为 $\mathcal{B}$ 的长度是 $m + n$，而

$$m + n = \dim V/U + \dim U = \dim V.$$

顺带地，这道题也印证了习题 3.E.13（第四版）中 $V \cong U \times (V/U)$ 的构造：$V/U$ 的基”抬回” $V$ 后（即 $v_1,\dots,v_m$），它们与 $U$ 直和地拼成 $V$。

3.E.20

Suppose $U$ is a subspace of $V$. Define $\Gamma : \mathcal{L}(V/U, W) \to \mathcal{L}(V, W)$ by

$$\Gamma(S) = S \circ \pi.$$

(a) Show that $\Gamma$ is a linear map.

(b) Show that $\Gamma$ is injective.

(c) Show that $\text{range } \Gamma = \{T \in \mathcal{L}(V,W) : Tu = 0 \text{ for every } u \in U\}$.

solution:

这里 $\pi : V \to V/U$ 是商映射（定义 3.104）。

(a) $\Gamma$ 是线性映射。

设 $S_1, S_2 \in \mathcal{L}(V/U, W)$，$\lambda \in \mathbf{F}$。对每个 $v \in V$，

$$\begin{aligned} \Gamma(S_1 + S_2)(v) &= \big((S_1+S_2)\circ\pi\big)(v) = (S_1+S_2)\big(\pi(v)\big) = S_1\big(\pi(v)\big) + S_2\big(\pi(v)\big)\\ &= \Gamma(S_1)(v) + \Gamma(S_2)(v) = \big(\Gamma(S_1) + \Gamma(S_2)\big)(v), \end{aligned}$$

故 $\Gamma(S_1+S_2) = \Gamma(S_1)+\Gamma(S_2)$。同理

$$\Gamma(\lambda S)(v) = (\lambda S)\big(\pi(v)\big) = \lambda\,S\big(\pi(v)\big) = \lambda\,\Gamma(S)(v),$$

故 $\Gamma(\lambda S) = \lambda\Gamma(S)$。因此 $\Gamma$ 线性。

(b) $\Gamma$ 是单射。

只需证 $\text{null } \Gamma = \{0\}$。设 $\Gamma(S) = S \circ \pi = 0$（$V$ 上的零映射）。关键观察：$\pi$ 是满射（定义 3.104 的讨论：$V/U$ 的每个元素都形如 $v + U = \pi(v)$）。因此 $\text{range } \pi = V/U$，而

$$\{0\} = \text{range}(S \circ \pi) = S\big[\text{range } \pi\big] = S\big[V/U\big] = \text{range } S,$$

故 $S = 0$。于是 $\text{null } \Gamma = \{0\}$，$\Gamma$ 单射。

另一种写法：任取 $\bar{v} = v + U \in V/U$，则 $\bar v = \pi(v)$，故

$$S(\bar v) = S\big(\pi(v)\big) = (S\circ\pi)(v) = 0.$$

由 $\bar v$ 任意得 $S = 0$。这里”$\pi$ 满射”是全部要害——如果 $\pi$ 不满射，$S$ 在 $\pi$ 的像之外可以任意取值而不被 $\Gamma$ 约束，$\Gamma$ 就不可能单射。

(c) $\text{range } \Gamma = \{T \in \mathcal{L}(V,W) : Tu = 0 \text{ 对一切 } u \in U\}$。

记右端集合为 $\mathcal{E}$，即 $\mathcal{E} = \{T : U \subseteq \text{null } T\}$。验证两个包含。

$\text{range } \Gamma \subseteq \mathcal{E}$：设 $T = \Gamma(S) = S \circ \pi$。若 $u \in U$，则 $\pi(u) = u + U = 0 + U$（定理 3.101），故

$$Tu = S\big(\pi(u)\big) = S(0 + U) = 0$$

（最后一步因为 $S$ 线性，把零元素送成零）。故 $T \in \mathcal{E}$。

$\mathcal{E} \subseteq \text{range } \Gamma$：设 $T \in \mathcal{L}(V,W)$ 且 $Tu = 0$ 对一切 $u \in U$。我们要造出 $S \in \mathcal{L}(V/U,W)$ 使 $S \circ \pi = T$，即让 $S$ 满足

$$S(v + U) = Tv \qquad \text{对一切 } v \in V. \tag{$\dagger$}$$

$(\dagger)$ 良定义：设 $v, v' \in V$ 满足 $v + U = v' + U$。由 定理 3.101，$v - v' \in U$，故由 $T$ 在 $U$ 上为零得

$$Tv - Tv' = T(v - v') = 0, \quad\text{即}\quad Tv = Tv'.$$

所以 $(\dagger)$ 给出的值与代表元的选取无关。

$S$ 线性：利用 $V/U$ 上运算的定义（定义 3.102）与 $T$ 的线性性，

$$S\big((v+U)+(v'+U)\big) = S\big((v+v')+U\big) = T(v+v') = Tv + Tv' = S(v+U) + S(v'+U),$$ $$S\big(\lambda(v+U)\big) = S\big((\lambda v)+U\big) = T(\lambda v) = \lambda\,Tv = \lambda\,S(v+U).$$

故 $S \in \mathcal{L}(V/U,W)$，且由 $(\dagger)$ 得 $S \circ \pi = T$，即 $T = \Gamma(S) \in \text{range } \Gamma$。

结论：$\text{range } \Gamma = \mathcal{E}$。$\blacksquare$

要点：把 (a)(b)(c) 合起来看，$\Gamma$ 是

$$\Gamma : \mathcal{L}(V/U, W) \xrightarrow{\ \cong\ } \big\{T \in \mathcal{L}(V,W) : U \subseteq \text{null } T\big\}$$

的一个同构（(a) 线性、(b) 单射、(c) 值域恰好是这个子空间——而由 定理 3.71 的同类推理，(c) 已经蕴含 $\Gamma$ 是到该子空间之上的满射）。

这正是 lecture 9 正文 定理 3.107 中交换图的”反向”说法：

• 正文里，给定 $T$ 且 $U = \text{null } T$，我们造出 $\tilde T$ 使 $\tilde T \circ \pi = T$（从 $T$ 到 $\tilde T$）；
• 这里，给定任意子空间 $U$，我们刻画了”哪些 $T$ 能穿过 $\pi$“——答案正是 $U \subseteq \text{null } T$（从 $\tilde T$ 到 $T$）。

而 (c) 中的集合 $\{T : U \subseteq \text{null } T\}$ 正是习题 3.D.10 里那个 $\mathcal{E}$。于是把它与 定理 3.72 以及习题 3.D.10 的维数公式放在一起，立刻得到

$$\dim \mathcal{L}(V/U, W) = (\dim V/U)(\dim W) = (\dim V - \dim U)(\dim W) = \dim \mathcal{E},$$

与 3.D.10 的结果完全一致——两道题从不同路径（一道用线性映射的核，一道用商空间）得到同一个空间与同一个维数。这正说明”商掉 $U$“与”在 $U$ 上取零”是同一件事的两面。