Lecture 5: The Vector Space of Linear Maps (线性映射)

1. Motivation (动机)

在前面几讲中，我们建立了向量空间（Vector Spaces）的静态结构：子空间、基、维数、直和等。然而，数学的魅力在于研究结构之间的“关系”与“变换”。 线性代数最核心的研究对象，就是有限维向量空间上的线性映射（Linear Maps）（定义见 定义 3.1）。本讲我们将引入线性映射的定义，探讨其基本性质，并证明所有从 $V$ 到 $W$ 的线性映射构成的集合本身也是一个向量空间。

2. Definition of Linear Maps (线性映射的定义)

2.1 Definition

Definition 3.1 (Linear Map) 一个从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 的函数 $T: V \to W$ 被称为线性映射，如果它满足以下两个性质：

1. 可加性 (Additivity): $$T(u + v) = Tu + Tv \quad \text{for all } u, v \in V$$
2. 齐次性 (Homogeneity): $$T(\lambda v) = \lambda (Tv) \quad \text{for all } \lambda \in F \text{ and } v \in V$$

Note:

• 有些数学家使用“线性变换 (linear transformation)”一词，与线性映射同义。
• 记号上，我们通常省略括号，直接写 $Tv$ 而不是 $T(v)$。

2.2 Notation

Definition 3.2 (记号 $\mathcal{L}(V, W)$、$\mathcal{L}(V)$)

• $\mathcal{L}(V, W)$：表示所有从 $V$ 到 $W$ 的线性映射构成的集合。
• $\mathcal{L}(V)$：表示所有从 $V$ 到 $V$ 的线性映射（通常称为算子 / operators）构成的集合，即 $\mathcal{L}(V) = \mathcal{L}(V, V)$。

3. Examples of Linear Maps (线性映射的例子)

Example 3.3 (线性映射的例子)

验证以下映射满足可加性和齐次性：

映射类型	定义与说明
零映射 (Zero map)	$0 \in \mathcal{L}(V, W)$，定义为 $0v = 0$（将 $V$ 中所有元素映射为 $W$ 的零元）。
恒等算子 (Identity)	$I \in \mathcal{L}(V)$，定义为 $Iv = v$。
微分 (Differentiation)	$D \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}))$，定义为 $Dp = p'$。反映了 $(f+g)' = f' + g'$ 和 $(\lambda f)' = \lambda f'$。
积分 (Integration)	$T \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}), \mathbb{R})$，定义为 $Tp = \int_0^1 p$。
乘 $x^2$	$T \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}))$，定义为 $(Tp)(x) = x^2 p(x)$。
后移算子 (Backward shift)	$T \in \mathcal{L}(F^\infty)$，定义为 $T(x_1, x_2, x_3, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$。
$F^n \to F^m$	$T(x_1, \dots, x_n) = (A_{1,1}x_1 + \dots + A_{1,n}x_n, \dots, A_{m,1}x_1 + \dots + A_{m,n}x_n)$。实际上所有从 $F^n$ 到 $F^m$ 的线性映射都具有这种形式（即矩阵乘法）。

4. Linear Map Lemma (线性映射引理)

这是线性代数中极其重要的一个定理，它揭示了线性映射与基之间的深刻联系。

Theorem 3.4 (Linear Map Lemma) 假设 $v_1, \dots, v_n$ 是 $V$ 的一组基，$w_1, \dots, w_n \in W$ 是任意给定的向量。则存在唯一的线性映射 $T: V \to W$ 使得：

$$Tv_k = w_k \quad \text{for each } k = 1, \dots, n$$

Proof Idea (证明思路):

• 存在性 (Existence): 因为 $v_1, \dots, v_n$ 是基，$V$ 中任意向量 $v$ 可唯一表示为 $v = c_1 v_1 + \dots + c_n v_n$。我们直接定义 $T(c_1 v_1 + \dots + c_n v_n) = c_1 w_1 + \dots + c_n w_n$。通过展开可以验证该定义满足可加性和齐次性。
• 唯一性 (Uniqueness): 假设存在满足条件的 $T$，由齐次性 $T(c_k v_k) = c_k w_k$，再由可加性 $T(c_1 v_1 + \dots + c_n v_n) = c_1 w_1 + \dots + c_n w_n$。这说明 $T$ 在整个 $V$ 上的作用被其在基上的作用完全且唯一地决定。

核心结论：我们可以随意指定线性映射在一组基上的像，这足以唯一确定整个线性映射。（这条引理是 Lecture 7 用矩阵表示线性映射的全部依据。）

5. Algebraic Operations on $\mathcal{L}(V, W)$ (线性映射空间的代数运算)

5.1 Addition and Scalar Multiplication

Definition 3.5 假设 $S, T \in \mathcal{L}(V, W)$ 且 $\lambda \in F$。定义它们的和 $S+T$ 与数乘 $\lambda T$ 为：

• $(S + T)(v) = Sv + Tv$
• $(\lambda T)(v) = \lambda (Tv)$

Theorem 3.6 $\mathcal{L}(V, W)$ 在上述加法和数乘运算下构成一个向量空间。 (其加法单位元就是零映射 $0$。)

6. Product of Linear Maps (线性映射的乘积)

通常向量空间的元素之间不能相乘，但线性映射之间可以定义“乘积”（即函数的复合）。

6.1 Definition

Definition 3.7 若 $T \in \mathcal{L}(U, V)$ 且 $S \in \mathcal{L}(V, W)$，则它们的乘积 $ST \in \mathcal{L}(U, W)$ 定义为：

$$(ST)(u) = S(Tu) \quad \text{for all } u \in U$$

(Note: $ST$ 就是通常的复合函数 $S \circ T$。只有当 $T$ 的值域包含在 $S$ 的定义域内时，$ST$ 才有意义。)

6.2 Algebraic Properties

Theorem 3.8

• 结合律 (Associativity): $(T_1 T_2) T_3 = T_1 (T_2 T_3)$
• 单位元 (Identity): $TI = IT = T$ （注意前后的 $I$ 分别代表不同空间上的恒等算子）
• 分配律 (Distributive properties): $(S_1 + S_2)T = S_1 T + S_2 T$ $S(T_1 + T_2) = ST_1 + ST_2$

6.3 Noncommutativity (非交换性)

警告：线性映射的乘法不满足交换律！即 $ST \neq TS$。 Example 3.9:
设 $D \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}))$ 为微分算子，$T \in \mathcal{L}(P(\mathbb{R}))$ 为乘 $x^2$ 算子。

• 先微分再乘 $x^2$： $((TD)p)(x) = x^2 p'(x)$
• 先乘 $x^2$ 再微分： $((DT)p)(x) = (x^2 p(x))' = x^2 p'(x) + 2xp(x)$ 显然 $TD \neq DT$。（这在量子力学中对应位置算符与动量算符的对易关系）。

7. Elementary Properties (基本性质)

Proposition 3.10 线性映射将零元映射为零元：若 $T \in \mathcal{L}(V, W)$，则 $T(0) = 0$（这条性质正是 Lecture 6 定义零空间 定义 3.11 的前提）。 Proof: 由可加性：$T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0)$。 两边同时加上 $T(0)$ 的加法逆元，即得 $T(0) = 0$。

Note: 这解释了为什么高中代数中的“线性函数” $f(x) = mx + b$ 只有当 $b = 0$ 时，才是线性代数意义上的线性映射。

8. Terminology (相关术语)

在更抽象的代数语境中，线性映射还有其他称呼：

术语	含义
Homomorphism (同态)	Linear map (线性映射)
Endomorphism (自同态)	Linear operator (线性算子, $V \to V$)
Monomorphism / Embedding (单态射)	Injective linear map (单射线性映射)
Epimorphism (满态射)	Surjective linear map (满射线性映射)
Isomorphism (同构)	Bijective linear map (双射线性映射)
Automorphism (自同构)	Bijective linear operator (双射线性算子)

9. Exercises

3.A.3. Suppose that $T \in \mathcal{L}(\mathbf{F}^n, \mathbf{F}^m)$. Show that there exist scalars $A_{j,k} \in \mathbf{F}$ for $j = 1, \dots, m$ and $k = 1, \dots, n$ such that

$$T(x_1, \dots, x_n) = (A_{1,1}x_1 + \dots + A_{1,n}x_n, \dots, A_{m,1}x_1 + \dots + A_{m,n}x_n)$$

for every $(x_1, \dots, x_n) \in \mathbf{F}^n$.

Solution:

3.A.9. Give an example of a function $\varphi: \mathbf{C} \to \mathbf{C}$ such that

$$\varphi(w + z) = \varphi(w) + \varphi(z)$$

for all $w, z \in \mathbf{C}$ but $\varphi$ is not linear. (Here $\mathbf{C}$ is thought of as a complex vector space.)
There also exists a function 𝜑∶ 𝐑 → 𝐑 such that 𝜑 satisfies the additivity condition above but 𝜑 is not linear. However, showing the existence of such a function involves considerably more advanced tools. Solution:

3.A.10. Prove or give a counterexample: If $q \in \mathcal{P}(\mathbf{R})$ and $T: \mathcal{P}(\mathbf{R}) \to \mathcal{P}(\mathbf{R})$ is defined by $Tp = q \circ p$, then $T$ is a linear map.

Solution:

3.A.11. Suppose $V$ is finite-dimensional and $T \in \mathcal{L}(V)$. Prove that $T$ is a scalar multiple of the identity if and only if $ST = TS$ for every $S \in \mathcal{L}(V)$.

Solution:

3.A.13. Suppose $V$ is finite-dimensional. Prove that every linear map on a subspace of $V$ can be extended to a linear map on $V$. In other words, show that if $U$ is a subspace of $V$ and $S \in \mathcal{L}(U, W)$, then there exists $T \in \mathcal{L}(V, W)$ such that $Tu = Su$ for all $u \in U$.

Solution:

3.A.14. Suppose $V$ is finite-dimensional with $\dim V > 0$, and suppose $W$ is infinite-dimensional. Prove that $\mathcal{L}(V, W)$ is infinite-dimensional.

Solution:

10. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

• 如何刻画一个线性映射“丢失”了多少信息，又“保留”了多少信息？（引出 Null Space 零空间 与 Range 值域 的概念）
• 线性映射的维数定理（Fundamental Theorem of Linear Maps）是什么？
• 给定基之后，如何用矩阵 (Matrix) 来完美地表示和计算线性映射？