Lecture 4: Bases and Dimension (基与维数)

有了前面线性组合、张成（Span）与线性无关（Linear Independence）的基本介绍（定义 2.15），我们可以迈向更核心的概念了。这一节中，我们将把这两个概念结合起来，定义“基（Basis）”，并借此引出空间的“维数（Dimension）”。在此之前，我们需要明确：一个列表如果既能张成整个空间，又线性无关，它就构成了这个空间的“骨架”。

1. Bases (基)

1.1 Definition & Criterion (定义与判定)

Definition (Basis): 向量空间 $V$ 的一个基是 $V$ 中的一个向量列表，它既是线性无关的，又能张成 $V$ 。

Theorem 2.28 (Criterion for basis, 基的判定准则)：

列表 $v_1, \dots, v_n$ 是 $V$ 的基 $\iff$ $V$ 中的每一个向量 $v$ 都能以唯一的方式表示为 $v_1, \dots, v_n$ 的线性组合：

v = a_1v_1 + \dots + a_nv_n \quad (a_i \in F)

证明思路：存在性由“张成”保证；唯一性由“线性无关”保证（若表示不唯一，两式相减会得到不全为0的系数使线性组合为0，矛盾）。

1.2 Examples (例子)

$F^n$ 的标准基： $e_1 = (1,0,\dots,0), \dots, e_n = (0,\dots,0,1)$ 。
$P_m(F)$ （次数不超过 $m$ 的多项式空间）的标准基： $1, z, z^2, \dots, z^m$ 。
子空间 $\{(x,y,z) \in F^3 : x+y+z=0\}$ 的一个基： $(1,-1,0), (1,0,-1)$ 。

1.3 Key Theorems (核心定理)

Theorem 2.30 (Spanning list contains a basis): $V$ 中的每一个张成列表都可以通过剔除某些向量，缩减为 $V$ 的一个基。 （利用线性相关引理，不断剔除可以被前面向量线性表示的冗余向量，直到列表线性无关。）

Theorem 2.31 (Basis of finite-dimensional vector space): 每一个有限维向量空间都有一个基。 （推论：由定义，有限维空间存在张成列表，由定理 2.30 缩减即得基。）

Theorem 2.32 (LI list extends to a basis): 有限维向量空间中的每一个线性无关列表都可以通过添加一些向量，扩展为 $V$ 的一个基。 （证明思路：将线性无关列表与已知的张成列表拼接，再利用定理 2.30 的过程缩减，由于原列表线性无关，其中的向量不会被剔除。）

Theorem 2.33 (Direct Sum Decomposition): 如果 $V$ 是有限维的，且 $U$ 是 $V$ 的子空间，则存在子空间 $W$ 使得 $V = U \oplus W$ （直和的记号见定义 1.41）。 （证明思路：取 $U$ 的基，扩展为 $V$ 的基。令 $W$ 为新增向量张成的空间，利用基的唯一表示性证明直和。）

2. Dimension (维数)

2.1 Definition (定义)

Theorem 2.34 (Basis length does not depend on basis): 有限维向量空间的任意两个基都具有相同的长度。（证明思路：设基 $B_1$ 线性无关，基 $B_2$ 张成空间。由 Lecture 3 的核心定理定理 2.22 “线性无关列表长度 $\le$ 张成列表长度”，得 $|B_1| \le |B_2|$ 。同理 $|B_2| \le |B_1|$ ，故相等。）

Definition (Dimension): 有限维向量空间 $V$ 的维数，记为 $\dim V$ ，定义为 $V$ 的任意一个基的长度（良定义性由定理 2.34 保证）。

2.2 Properties of Dimension (维数的性质)

Theorem 2.37 (Dimension of a subspace): 如果 $V$ 是有限维的，且 $U$ 是 $V$ 的子空间，则 $\dim U \le \dim V$ 。 （将 $U$ 的基视为 $V$ 中的线性无关列表， $V$ 的基视为张成列表，应用长度不等式。）

Theorem 2.38 & 2.39 (Right length shortcuts):

Theorem 2.38 (线性无关列表捷径)：如果 $\dim V = n$ ，则 $V$ 中任何长度为 $n$ 的线性无关列表都是 $V$ 的基。

Theorem 2.39 (满维子空间捷径)：如果 $U$ 是 $V$ 的子空间且 $\dim U = \dim V$ ，则 $U = V$ 。

Theorem 2.42 (Spanning list of the right length): 如果 $\dim V = n$ ，则 $V$ 中任何长度为 $n$ 的张成列表都是 $V$ 的基。

3. Dimension of a Sum (和的维数)

Theorem 2.43 (Dimension of a sum): 如果 $U_1, U_2$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，则：

\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2)

这完全类比于集合论中的容斥原理： $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 。

Proof Sketch (证明思路):

设 $u_1, \dots, u_m$ 是 $U_1 \cap U_2$ 的基（故 $\dim(U_1 \cap U_2) = m$ ）。
将其扩展为 $U_1$ 的基： $u_1, \dots, u_m, v_1, \dots, v_j$ （故 $\dim U_1 = m+j$ ）。
将其扩展为 $U_2$ 的基： $u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_k$ （故 $\dim U_2 = m+k$ ）。
证明列表 $u_1, \dots, u_m, v_1, \dots, v_j, w_1, \dots, w_k$ $u_{1}, \dots, u_{m}, v_{1}, \dots, v_{j}, w_{1}, \dots, w_{k}$ 是 $U_1 + U_2$ $U_{1} + U_{2}$ 的基。
- 张成：显然包含 $U_1$ 和 $U_2$ ，故张成 $U_1+U_2$ 。
- 线性无关：设线性组合为 0，移项可得 $w$ 的组合等于 $u, v$ 的组合。这说明 $w$ 的组合属于 $U_1 \cap U_2$ ，故可由 $u$ 线性表示。由 $u, w$ 的线性无关性得 $w$ 的系数全为 0。同理 $u, v$ 的系数全为 0。
结论： $\dim(U_1+U_2) = m+j+k = (m+j) + (m+k) - m = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2)$ 。

4. Exercises (课后作业)

2.B.4. (a) Let $U = \{(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \in \mathbb{R}^5 : x_1 = 3x_2 \text{ and } x_3 = 7x_4\}$ . Find a basis of $U$ .
(b) Extend the basis in (a) to a basis of $\mathbb{R}^5$ .
(c) Find a subspace $W$ of $\mathbb{R}^5$ such that $\mathbb{R}^5 = U \oplus W$ .

Solution:
(a) 自由变量为 $x_2, x_4, x_5$ 。代入约束条件，向量可写为 $x_2(3,1,0,0,0) + x_4(0,0,7,1,0) + x_5(0,0,0,0,1)$ 。
故基为： $(3,1,0,0,0), (0,0,7,1,0), (0,0,0,0,1)$ 。 $\dim U = 3$ 。
(b) 添加标准基中的 $e_1=(1,0,0,0,0)$ 和 $e_2=(0,1,0,0,0)$ ，这 5 个向量线性无关，构成 $\mathbb{R}^5$ 的基。
(c) 令 $W = \text{span}(e_1, e_2)$ 。由构造过程知 $\mathbb{R}^5 = U \oplus W$ 。

2.B.8. Prove or give a counterexample: If $v_1, v_2, v_3, v_4$ is a basis of $V$ and $U$ is a subspace of $V$ such that $v_1, v_2 \in U$ and $v_3 \notin U$ and $v_4 \notin U$ , then $v_1, v_2$ is a basis of $U$ .

Solution:
Counterexample. 令 $V = \mathbb{R}^4$ ，标准基为 $e_1, e_2, e_3, e_4$ 。
令 $U = \text{span}(e_1, e_2, e_3+e_4)$ 。
显然 $e_1, e_2 \in U$ 。而 $e_3 \notin U$ （否则 $e_3+e_4 - e_3 = e_4 \in U$ ，矛盾），同理 $e_4 \notin U$ 。
但 $\dim U = 3$ ，而 $e_1, e_2$ 的长度仅为 2，无法构成 $U$ 的基。

2.C.7. Let $U = \{p \in \mathcal{P}_4(F) : p(2) = p(5)\}$ . Find a basis of $U$ .

Solution:
条件 $p(5) - p(2) = 0$ 是一个线性约束，故 $\dim U = 5 - 1 = 4$ 。
注意到对于任意 $q \in \mathcal{P}_2(F)$ ，多项式 $(x-2)(x-5)q(x)$ 都满足在 $x=2$ 和 $x=5$ 处值为 0，故属于 $U$ 。
这给出了 3 个线性无关的向量： $(x-2)(x-5), x(x-2)(x-5), x^2(x-2)(x-5)$ 。
再加上常数多项式 $1$ （满足 $1(2)=1(5)$ ），这 4 个多项式线性无关，构成 $U$ 的基。

2.C.9. Suppose $m$ is a positive integer and $p_0, p_1, \dots, p_m \in \mathcal{P}(F)$ are such that each $p_k$ has degree $k$ . Prove that $p_0, \dots, p_m$ is a basis of $\mathcal{P}_m(F)$ .

Solution:
在标准基 $1, x, \dots, x^m$ 下，列表 $p_0, \dots, p_m$ 的系数矩阵是一个上三角矩阵，且对角线元素（即最高次项系数）均不为 0。
因此该矩阵可逆，列表线性无关。
由于列表长度为 $m+1 = \dim \mathcal{P}_m(F)$ ，由“正确长度的线性无关列表即为基”可知，它是 $\mathcal{P}_m(F)$ 的基。

2.C.16. Suppose $V$ is finite-dimensional and $U$ is a subspace of $V$ with $U \neq V$ . Let $n = \dim V$ and $m = \dim U$ . Prove that there exist $n - m$ subspaces of $V$ , each of dimension $n - 1$ , whose intersection equals $U$ .

Solution:
取 $U$ 的基 $u_1, \dots, u_m$ ，扩展为 $V$ 的基 $u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_{n-m}$ 。
对于每个 $k \in \{1, \dots, n-m\}$ ，定义 $W_k = \text{span}(u_1, \dots, u_m, \{w_j : j \neq k\})$ 。
每个 $W_k$ 包含 $n-1$ 个基向量，故 $\dim W_k = n-1$ 。
显然 $U \subseteq W_k$ 对所有 $k$ 成立，故 $U \subseteq \bigcap W_k$ 。
反之，若 $v \in \bigcap W_k$ ，将 $v$ 用 $V$ 的基表示，由于 $v \in W_k$ ，其 $w_k$ 的系数必须为 0。这对所有 $k$ 成立，故 $v$ 只能由 $u_i$ 线性表示，即 $v \in U$ 。故交集等于 $U$ 。

2.C.17. Suppose that $V_1, \dots, V_m$ are finite-dimensional subspaces of $V$ . Prove that $V_1 + \dots + V_m$ is finite-dimensional and $\dim(V_1 + \dots + V_m) \le \dim V_1 + \dots + \dim V_m$ .

Solution:
对每个 $V_k$ ，取其一个基 $B_k$ 。
根据和的定义， $V_1 + \dots + V_m = \text{span}(B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_m)$ 。
因此， $B_1 \cup \dots \cup B_m$ 张成该和空间，故和空间是有限维的。
其维数 $\le$ 并集中向量的总数 $\le |B_1| + \dots + |B_m| = \dim V_1 + \dots + \dim V_m$ 。
（等号成立当且仅当该和是直和，即 $B_1 \cup \dots \cup B_m$ 线性无关）。

5. Concept Map (概念联系图)

向量列表 (List of Vectors)
 │
 ├── 线性无关 (Linearly Independent) ──┐
 │                                     ├──> 基 (Basis) ──> 长度唯一 ──> 维数 (Dimension)
 └── 张成 (Spans) ─────────────────────┘                     │
                                                             ├── 子空间维数 $\le$ 空间维数
                                                             ├── 满维子空间 = 全空间
                                                             └── 容斥原理: $\dim(U_1+U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2)$

6. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

我们已经彻底搞清了有限维向量空间的“内部结构”（基、维数、子空间的和与直和）。
但是，向量空间本身只是舞台，真正精彩的“戏”是空间之间的映射。
下节课（Chapter 3）：我们将引入线性映射（Linear Maps）。

什么是线性映射？（保持加法和标量乘法的映射）
线性映射的“核（Null Space）”与“值域（Range）”有什么性质？
线性映射基本定理（Fundamental Theorem of Linear Maps）：

\text{dim}\ V=\text{dim}\ (\text{null}\ T) + \text{dim}\ (\text{range}\ T)

如何用矩阵（Matrices）来具体表示和计算线性映射？