lecture-3: Span and Linear Independence (张成 与 线性无关)

有了前面域与向量空间的基本介绍，我们可以迈向更“线性代数”的领域了。这一节中，我们将侧重于介绍空间的向量张成。在此之前，我们需要先介绍一个记号：$v_1, v_2, v_3,...,v_m$ represent a list of vector。

Note on “List”: 在 Lecture 1 中我们提到过，列表（list）与集合（set）不同（见 定义 1.8）。列表中顺序重要且重复有意义（例如 $(v_1, v_1)$ 和 $(v_1)$ 是不同的列表）。在讨论线性组合和张成时，我们总是针对“列表”而言。

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1. Linear Combinations and Span (线性组合与张成)

1.1 Linear Combinations (线性组合)

Definition 2.2 (Linear Combination): 给定向量空间 $V$ 中的列表 $v_1, \dots, v_m$，形如

$$a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_mv_m \quad (a_i \in F)$$

的向量称为该列表的一个线性组合。

1.2 Span (张成)

Definition 2.4 (Span): 列表 $v_1, \dots, v_m$ 的所有线性组合构成的集合称为该列表的张成，记为 $\text{span}(v_1, \dots, v_m)$。 规定：空列表 $()$ 的张成定义为 $\{0\}$。

Proposition 2.6 (Span 的几何/代数意义): $\text{span}(v_1, \dots, v_m)$ 是 $V$ 中包含 $v_1, \dots, v_m$ 的最小子空间。 证明思路：首先验证它满足子空间的三个条件（包含0、对加法和标量乘法封闭，即 命题 1.34）；其次，任何包含这些向量的子空间必然包含它们的所有线性组合，因此它是最小的。

1.3 Finite-Dimensional vs Infinite-Dimensional (有限维与无限维)

Definition 2.9 (Finite-Dimensional): 如果存在一个向量列表能够张成该空间，则称该向量空间为有限维的。

• 例子：$F^n$ 是有限维的（由标准基 $e_1, \dots, e_n$ 张成）。
• 例子：$\mathcal{P}_m(F)$（次数不超过 $m$ 的多项式空间）是有限维的，由 $1, z, \dots, z^m$ 张成。

Definition 2.13 (Infinite-Dimensional): 不是有限维的向量空间称为无限维的。

• 例子：$\mathcal{P}(F)$（所有多项式构成的空间）是无限维的。因为任何有限列表张成的空间中的多项式都有一个最高次数限制，无法包含所有任意高次的多项式。

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2. Linear Independence (线性无关)

2.1 Linear Independence (线性无关)

Definition 2.15 (Linear Independence): 列表 $v_1, \dots, v_m$ 称为线性无关的，如果使得

$$a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_mv_m = 0$$

成立的唯一选择是 $a_1 = a_2 = \dots = a_m = 0$。

• 等价理解：$\text{span}(v_1, \dots, v_m)$ 中的每个向量都只有唯一一种方式表示为 $v_1, \dots, v_m$ 的线性组合（与基的判定准则 Lecture 4: Bases and Dimension (基 与 维数) 直接相关）。
• 规定：空列表 $()$ 也被声明为线性无关。

2.2 Linear Dependence (线性相关)

Definition 2.17 (Linear Dependence): 不是线性无关的列表称为线性相关的。即存在不全为 0 的标量 $a_1, \dots, a_m$ 使得 $\sum a_i v_i = 0$。

• 常见情况：
  • 包含 $0$ 向量的列表必然线性相关。
  • 如果某个向量是其他向量的线性组合，则列表线性相关。

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3. Linear Dependence Lemma (线性相关引理)

3.1 The Lemma (引理)

Lemma 2.19 (Linear Dependence Lemma): 如果 $v_1, \dots, v_m$ 是线性相关的列表，则存在 $k \in \{1, \dots, m\}$ 使得 $v_k \in \text{span}(v_1, \dots, v_{k-1})$。 并且，如果去掉这个 $v_k$，剩余列表的张成空间不变：$\text{span}(v_1, \dots, v_{k-1}, v_{k+1}, \dots, v_m) = \text{span}(v_1, \dots, v_m)$。

证明思路：由线性相关，存在不全为0的 $a_i$ 使得 $\sum a_i v_i = 0$。取最大的 $k$ 使得 $a_k \neq 0$，则 $v_k$ 可以表示为前面向量的线性组合。将 $v_k$ 的表达式代入任意 $u \in \text{span}$ 中，即可证明去掉 $v_k$ 不改变张成空间。

3.2 The Core Theorem (核心定理)

Theorem 2.22: 在有限维向量空间中，线性无关列表的长度 $\le$ 张成列表的长度（这一不等式正是后面维数理论 Lecture 4: Bases and Dimension (基 与 维数) 的基石）。 证明思路（替换过程）： 假设 $u_1, \dots, u_m$ 线性无关，$w_1, \dots, w_n$ 张成 $V$。 将 $u_1$ 加入 $w$ 列表，新列表线性相关。由 引理 2.19，可以踢出一个 $w$ 向量，保持张成空间不变。 重复此过程，每次加入一个 $u$，踢出一个 $w$。因为 $u$ 列表线性无关，所以永远不会踢出 $u$。最终说明加入的 $u$ 的个数 $m$ 不可能超过初始 $w$ 的个数 $n$。

推论：

• $\mathbb{R}^3$ 中不存在长度为 4 的线性无关列表。
• 不存在长度为 3 的列表能张成 $\mathbb{R}^4$。

3.3 Subspaces of Finite-Dimensional Spaces (有限维子空间)

Proposition 2.25: 有限维向量空间的任何子空间也是有限维的。 证明思路：在子空间 $U$ 中逐步挑选不在已选列表张成空间中的向量，构造线性无关列表。由 定理 2.22，这个过程必然在有限步内终止，从而找到子空间 $U$ 的有限张成列表。

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4. Exercises (课后作业)

2.A.5. Find a number $t$ such that $(3, 1, 4), (2, -3, 5), (5, 9, t)$ is not linearly independent in $\mathbb{R}^3$.

Solution:
设 $a(3, 1, 4) + b(2, -3, 5) + c(5, 9, t) = (0, 0, 0)$。
得到方程组：

1. $3a + 2b + 5c = 0$
2. $a - 3b + 9c = 0 \implies a = 3b - 9c$
3. $4a + 5b + tc = 0$

将 2) 代入 1)：$3(3b - 9c) + 2b + 5c = 11b - 22c = 0 \implies b = 2c$。
回代得 $a = 3(2c) - 9c = -3c$。
将 $a, b$ 代入 3)：$4(-3c) + 5(2c) + tc = (t - 2)c = 0$。
要使得列表线性相关，必须存在不全为 0 的解（即 $c \neq 0$），因此 $t - 2 = 0 \implies t = 2$。

2.A.7. (a) Show that if we think of $\mathbb{C}$ as a vector space over $\mathbb{R}$, then $1+i, 1-i$ is linearly independent.
(b) Show that if we think of $\mathbb{C}$ as a vector space over $\mathbb{C}$, then $1+i, 1-i$ is linearly dependent.

Solution:
(a) 设 $a(1+i) + b(1-i) = 0$，其中 $a,b \in \mathbb{R}$。
整理得 $(a+b) + (a-b)i = 0$。
因为实部和虚部必须分别为 0，所以 $a+b=0$ 且 $a-b=0$，
解得 $a=b=0$。故在 $\mathbb{R}$ 上线性无关。

(b) 设 $\alpha(1+i) + \beta(1-i) = 0$，其中 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$。
取 $\alpha = 1-i, \beta = -(1+i)$，则 $\alpha(1+i) = 2$，$\beta(1-i) = -2$，和为 0。
因为 $\alpha, \beta$ 不全为 0，故在 $\mathbb{C}$ 上线性相关。

2.A.11. Prove or give a counterexample: If $v_1, \dots, v_m$ and $w_1, \dots, w_m$ are linearly independent lists of vectors in $V$, then $v_1+w_1, \dots, v_m+w_m$ is linearly independent.

Solution:
Counterexample. 令 $v_1 = (1, 0), v_2 = (0, 1)$ 且 $w_1 = (-1, 0), w_2 = (0, -1)$。这两个列表显然都是线性无关的。
但是 $v_1+w_1 = (0,0)$。因为新列表包含了零向量，所以 $v_1+w_1, v_2+w_2$ 是线性相关的。

2.A.14. Suppose $v_1, \dots, v_m$ is a list of vectors in $V$. For $k \in \{1, \dots, m\}$, let $w_k = v_1 + \dots + v_k$. Show that $v_1, \dots, v_m$ is linearly independent if and only if $w_1, \dots, w_m$ is linearly independent.

Solution:
注意到我们可以通过逆变换恢复 $v$ 列表：$v_1 = w_1$, $v_2 = w_2 - w_1$, $\dots$, $v_k = w_k - w_{k-1}$。
这说明对于任意 $k$，都有 $\text{span}(v_1, \dots, v_k) = \text{span}(w_1, \dots, w_k)$。
如果 $v$ 列表线性无关，假设 $w$ 列表线性相关，则由线性相关引理，存在某个 $w_k \in \text{span}(w_1, \dots, w_{k-1})$。这意味着 $v_k \in \text{span}(v_1, \dots, v_{k-1})$，与 $v$ 列表线性无关矛盾。反之亦然。

2.A.16. Explain why no list of four polynomials spans $\mathcal{P}_4(F)$.

Solution:
$\mathcal{P}_4(F)$ 的标准基为 $1, z, z^2, z^3, z^4$，包含 5 个元素，因此它是一个维度为 5 的空间（或者说存在长度为 5 的线性无关列表）。
根据 Theorem 2.22，线性无关列表的长度不能超过张成列表的长度。
因此，长度为 4 的列表绝对无法张成 $\mathcal{P}_4(F)$。

2.A.17. Prove that $V$ is infinite-dimensional if and only if there is a sequence $v_1, v_2, \dots$ of vectors in $V$ such that $v_1, \dots, v_m$ is linearly independent for every positive integer $m$.

Solution:
($\impliedby$) 如果存在这样的序列，则对任意正整数 $m$，$V$ 中都存在长度为 $m$ 的线性无关列表。
如果 $V$ 是有限维的，设其张成列表长度为 $N$，由 Theorem 2.22，任何线性无关列表长度 $\le N$。
这与可以构造任意长度 $m > N$ 的线性无关列表矛盾。
故 $V$ 必然是无限维的。
($\implies$) 如果 $V$ 是无限维的，则它没有有限的张成列表。我们可以递归地构造序列：
选 $v_1 \neq 0$；因为 $\text{span}(v_1) \neq V$，选 $v_2 \notin \text{span}(v_1)$；
一般地，假设已选好 $v_1, \dots, v_m$，因为 $V$ 无限维，$\text{span}(v_1, \dots, v_m) \neq V$，
故总可以选 $v_{m+1} \notin \text{span}(v_1, \dots, v_m)$。
由构造过程及线性相关引理，$v_1, \dots, v_m$ 必然线性无关。

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5. Concept Map (概念联系图)

向量列表 (List of Vectors)
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 ├── 线性组合 (Linear Combination)
 │    │
 │    └── 张成 (Span) ──> 包含这些向量的【最小子空间】
 │         │
 │         ├── 有限维向量空间 (Finite-Dimensional)
 │         └── 无限维向量空间 (Infinite-Dimensional)
 │
 └── 线性无关 (Linearly Independent) / 线性相关 (Linearly Dependent)
      │
      └── 线性相关引理 (Linear Dependence Lemma) ──> 剔除冗余向量，保持 Span 不变
           │
           └── 核心定理：【线性无关列表长度】 $\le$ 【张成列表长度】
                │
                └── 推论：有限维向量空间的【任何子空间】也是有限维的

6. Questions to Carry Forward (下节课前瞻)

既然在有限维空间中，线性无关列表的长度不能超过张成列表的长度，那么是否存在一个列表，它既是线性无关的，又能张成整个空间？
这样的列表被称为基（Basis）。
一个空间的基的长度是否唯一？（这将引出线性代数中极其重要的概念：维度 Dimension）。