Lecture 1: $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{C}^n$; Definition of Vector Space (域 与 向量空间)

1. Introduction

线性代数是研究有限维向量空间上的线性映射的学科。

课程路线：

$$\mathbb{C} \longrightarrow \text{Lists} \longrightarrow F^n \longrightarrow \text{Vector Space} \longrightarrow \text{Subspaces}$$

• 在实数与复数同时研究时，能得到更好的定理和更深的洞察。
• 将平面（$\mathbb{R}^2$）和普通空间（$\mathbb{R}^3$）推广到 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{C}^n$。
• 再进一步抽象为向量空间（vector space）的一般概念。
• 子空间（subspace）之于向量空间，类似于子集之于集合。

---

2. Complex Numbers

2.1 Definition

Definition 1.1 (Complex Numbers, $\mathbb{C}$)

• 一个复数是一个有序对 $(a,b)$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$，记作 $a + bi$。
• 所有复数的集合记为 $\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}$。
• 加法和乘法定义为： $$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$$ $$(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

• 将 $a + 0i$ 等同于实数 $a$，故 $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$。
• 符号 $i$ 由 Euler 于 1777 年首次使用，表示 $\sqrt{-1}$。
• 乘法公式的动机：假设 $i^2 = -1$，利用通常的算术规则展开即可。

2.2 Properties of Complex Arithmetic (1.3)

性质	内容
交换律	$\alpha + \beta = \beta + \alpha$，$\alpha\beta = \beta\alpha$
结合律	$(\alpha+\beta)+\lambda = \alpha+(\beta+\lambda)$，$(\alpha\beta)\lambda = \alpha(\beta\lambda)$
单位元	$\lambda + 0 = \lambda$，$\lambda \cdot 1 = \lambda$
加法逆元	对每个 $\alpha \in \mathbb{C}$，存在唯一 $\beta$ 使 $\alpha + \beta = 0$
乘法逆元	对每个 $\alpha \neq 0$，存在唯一 $\beta$ 使 $\alpha\beta = 1$
分配律	$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$

2.3 Notation: $-\alpha$, Subtraction, $1/\alpha$, Division

• $-\alpha$：$\alpha$ 的加法逆元
• $\beta - \alpha = \beta + (-\alpha)$
• $1/\alpha$：$\alpha \neq 0$ 时的乘法逆元
• $\beta / \alpha = \beta(1/\alpha)$

---

3. Notation: $F$

Notation 1.6

本书中 $F$ 表示 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。

• 使用 $F$ 是因为 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 都是域（field） 的例子（记号 $F$ 的约定见下文 Notation 1.6，域的一般定义见 Lecture 1: $\\mathbb{R}^n$ and $\\mathbb{C}^n$; Definition of Vector Space (域 与 向量空间)）。
• $F$ 中的元素称为标量（scalar）——强调对象是”数”而非”向量”时使用此术语。

---

4. Lists

Definition 1.8 (List, Length)

• 长度为 $n$ 的列表（list） 是 $n$ 个元素的有序集合。
• 两个列表相等 $\iff$ 长度相同且对应位置的元素相同。

列表与集合的区别：

• 列表中顺序有意义：$(3,5) \neq (5,3)$，但 $\{3,5\} = \{5,3\}$。
• 列表中重复有意义：$(4,4) \neq (4,4,4)$，但 $\{4,4\} = \{4,4,4\} = \{4\}$。

许多数学家将长度为 $n$ 的列表称为 $n$-元组（$n$-tuple）。

---

5. $F^n$

Definition 1.11 ($F^n$, Coordinate)

$$F^n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_k \in F \text{ for } k = 1, \dots, n\}$$

其中 $x_k$ 称为第 $k$ 个坐标（coordinate）。

5.1 运算定义

运算	定义
加法	$(x_1,\dots,x_n) + (y_1,\dots,y_n) = (x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$
零元	$0 = (0, \dots, 0)$
加法逆元	$-x = (-x_1, \dots, -x_n)$，满足 $x + (-x) = 0$
标量乘法	$\lambda(x_1,\dots,x_n) = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$

5.2 基本性质

• 加法交换律（1.14）：$x + y = y + x$
• 注意：符号 $0$ 在不同语境下含义不同——可以是 $F^n$ 中的零向量，也可以是 $F$ 中的数 $0$。

---

6. Fields（域）

Definition 一个域（field） 是一个包含至少两个不同元素 $0$ 和 $1$ 的集合，配备加法和乘法运算，满足 1.3 中列出的所有性质（交换律、结合律、单位元、逆元、分配律）。

例子：

• $\mathbb{R}$（实数）
• $\mathbb{C}$（复数）
• $\mathbb{Q}$（有理数）
• $\{0, 1\}$，其中 $1 + 1 = 0$（即 $\mathbb{Z}_2$）

注意： 本书中只处理 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$，但许多定义和定理对任意域同样成立。

---

7. Vector Space（向量空间）

7.1 动机

从 $F^n$ 的运算性质中抽象出来：加法交换、结合、有单位元、有逆元；标量乘法结合；分配律连接两种运算。

7.2 Definition

下面用 定义 1.20 把这套运算公理正式固定下来。

Definition 1.20 (Vector Space)

一个向量空间是一个集合 $V$，配备加法 $+: V \times V \to V$ 和标量乘法 $\cdot: F \times V \to V$，满足以下六条公理：

编号	公理	内容
(1)	交换律	$u + v = v + u$，$\forall\, u,v \in V$
(2)	结合律	$(u+v)+w = u+(v+w)$ 且 $(ab)v = a(bv)$
(3)	加法单位元	$\exists\, 0 \in V$ 使得 $v + 0 = v$，$\forall\, v \in V$
(4)	加法逆元	$\forall\, v \in V$，$\exists\, w \in V$ 使得 $v + w = 0$
(5)	乘法单位元	$1v = v$，$\forall\, v \in V$
(6)	分配律	$a(u+v) = au + av$ 且 $(a+b)v = av + bv$

7.3 相关术语

• $V$ 的元素称为向量（vector）或点（point）。
• 若 $F = \mathbb{R}$，称 $V$ 为实向量空间；若 $F = \mathbb{C}$，称 $V$ 为复向量空间。
• 最简单的向量空间是 $\{0\}$。

7.4 例子

• $F^n$（通常的加法和标量乘法）
• $F^\infty$：所有 $F$ 中元素构成的序列
• $F^S$：从集合 $S$ 到 $F$ 的所有函数，加法和标量乘法逐点定义： $$(f+g)(x) = f(x) + g(x), \quad (\lambda f)(x) = \lambda f(x)$$ 加法单位元是零函数 $0(x) = 0$，$f$ 的加法逆元是 $-f$。

---

8. Elementary Properties

8.1 唯一性

Theorem 1.26 (Unique Additive Identity)

向量空间的加法单位元唯一。

证明思路： 设 $0$ 和 $0'$ 都是加法单位元，则 $0' = 0' + 0 = 0 + 0' = 0$。

Theorem 1.27 (Unique Additive Inverse)

每个元素的加法逆元唯一。

证明思路： 设 $w$ 和 $w'$ 都是 $v$ 的加法逆元，则 $w = w + 0 = w + (v + w') = (w+v) + w' = 0 + w' = w'$。

8.2 基本等式

结果	内容	证明关键
1.30	$0v = 0$（标量 $0$ 乘任意向量 = 零向量）	分配律：$0v = (0+0)v = 0v + 0v$
1.31	$a0 = 0$（任意标量乘零向量 = 零向量）	分配律：$a0 = a(0+0) = a0 + a0$
1.32	$(-1)v = -v$	$v + (-1)v = 1v + (-1)v = (1+(-1))v = 0v = 0$

8.3 消去律（Cancellation Law）

Theorem (Cancellation Law)

若 $x + z = y + z$，则 $x = y$。

证明： 取 $v$ 使得 $z + v = 0$，则

$$x = x + 0 = x + (z+v) = (x+z) + v = (y+z) + v = y + (z+v) = y + 0 = y. \quad \blacksquare$$

---

9. 反例：验证公理的必要性

Example. 设 $V = \{(a_1, a_2) : a_1, a_2 \in \mathbb{R}\}$，定义

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + 2b_1,\; a_2 + 2b_2)$$ $$c(a_1, a_2) = (ca_1, ca_2)$$

问：$V$ 在此运算下是否为 $\mathbb{R}$ 上的向量空间？

答：不是。 加法不满足交换律：

$$(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + 2b_1, a_2 + 2b_2)$$ $$(b_1, b_2) + (a_1, a_2) = (b_1 + 2a_1, b_2 + 2a_2)$$

一般地 $a_1 + 2b_1 \neq b_1 + 2a_1$，故公理 (1) 失败。

---

10. 概念联系图

ℂ (复数：具体代数结构)
 │
 ▼
Lists (有序元组：强调顺序与重复)
 │
 ▼
Fⁿ (坐标向量：加法 + 标量乘法)
 │  抽象出运算公理
 ▼
Vector Space V over Field F
 │  (下节课)
 ▼
Subspace (子空间)

核心思想： 每一步都是”去掉具体结构，保留运算公理”的抽象化过程。$F^n$ 是向量空间的原型，向量空间定义中的六条公理恰好是 $F^n$ 运算满足的所有代数性质。

---

11. Exercises (from LADR, Sheldon Axler)

复数运算（1.A）

题号	考查内容
1.A.1	证明 $\alpha + \beta = \beta + \alpha$，$\forall\, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$（加法交换律）
1.A.3	证明 $(\alpha\beta)\lambda = \alpha(\beta\lambda)$，$\forall\, \alpha, \beta, \lambda \in \mathbb{C}$（乘法结合律）

$F^n$ 的运算验证（1.A）

题号	考查内容
1.A.11	证明 $(x+y)+z = x+(y+z)$，$\forall\, x,y,z \in F^n$（加法结合律）
1.A.12	证明 $(ab)x = a(bx)$，$\forall\, x \in F^n$，$a,b \in F$（标量乘法结合律）
1.A.14	证明 $\lambda(x+y) = \lambda x + \lambda y$，$\forall\, \lambda \in F$，$x,y \in F^n$（分配律）

向量空间公理与抽象证明（1.B）

题号	考查内容
1.B.2	若 $a \in F$，$v \in V$，且 $av = 0$，证明 $a = 0$ 或 $v = 0$
1.B.3	若 $v, w \in V$，解释为何存在唯一 $x \in V$ 使得 $v + 3x = w$
1.B.4	空集不是向量空间——它恰好违反了哪一条公理？（答：加法单位元的存在性）
1.B.5	证明在向量空间定义中，“加法逆元”条件可替换为”$0v = 0$，$\forall v \in V$”

1.A.1 Show that $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ for all $\alpha,\beta \in \mathbb{C}$.

sol:
Axiom: $\forall\ m,n \in \mathbb{R},\ m + n = n + m$.
Let $\alpha = a+bi,\beta=c+di$, where $a,b,c,d \in \mathbb{R}$,
then $\alpha + \beta = a + bi + c + di := (a + c) + (b + d)i$,
and $\beta + \alpha = c + di + a + bi := (c + a) + (d + b)i$.
By applying the axiom, $\alpha + \beta = (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i = \beta + \alpha$.

1.A.3 Show that $(\alpha \beta)\lambda = \alpha(\beta\lambda)$ for all $\alpha,\beta,\lambda \in \mathbb{C}$.

sol:
Let $\alpha = a + bi, \beta = c + di, \lambda = e + fi$, where $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}$,
then

$$(\alpha\beta)\lambda = ((a + bi)(c + di))(e + fi) = ((𝑎𝑐 −𝑏𝑑) +(𝑎𝑑 +𝑏𝑐)𝑖)(e + fi)$$

by definition of multiplication on $\mathbb{C}$.
In next step, we apply the definition again on $(𝑎𝑐 −𝑏𝑑) +(𝑎𝑑 +𝑏𝑐)𝑖$ and $e + fi$.
Thus, we gain $(\alpha\beta)\lambda = (ace - bde - adf - bcf) + (ade + bce + acf - bdf)i$.
Similarly,

$$\begin{aligned} \alpha(\beta\lambda) &= (a + bi)((ce - df) + (de + cf)i) \\ &= (ace - adf - bde - bcf) + (ade + acf + bce - bdf)i\\ &= (ace - bde - adf - bcf) + (ade + bce + acf - bdf)i\\ &= (\alpha\beta)\lambda \end{aligned}$$

1.A.11 Show that $(x + y)+z = x+(y+z)$ for all $x,y,z ∈ \mathbb{F}^n$

sol:
Let:

$$\begin{aligned} &x = (x_1,x_2,...,x_n),\\ &y = (y_1,y_2,...,y_n),\\ &z = (z_1,z_2,...,z_n). \end{aligned}$$

$(x+y)+z=(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)+z\$ by definition of addition in $\mathbb{F}^n$.
Denotes $(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)$ as a vector $\gamma \in \mathbb{F}^n$,
then

$$\begin{aligned} (x + y) + z &= \gamma + z \\&= ((x_1+y_1)+z_1,(x_2+y_2)+z_2,...,(x_n+y_n)+z_n) \\&= (x_1+y_1+z_1,x_2+y_2+z_2,...,x_n+y_n+z_n)\quad (\text{associativity in}\ \mathbb{R}) \end{aligned}$$

Similarly,

$$\begin{aligned} x + (y + z) &= x + (y_1+z_1,y_2+z_2,...,y_n+z_n) \\ &= (x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2),...,x_n+(y_n+z_n))\\ &= (x_1+y_1+z_1,x_2+y_2+z_2,...,x_n+y_n+z_n)\quad (\text{associativity in}\ \mathbb{R})\\ &= (x + y) + z \end{aligned}$$

1.A.12 Show that $(ab)x = a(bx)$ for all $𝑥 ∈ \mathbb{F}^n$ and all $a,b ∈ \mathbb{F}$

sol:
Let $x$ be $(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{F}^n\ \text{and}\ a,b \in \mathbb{F}$.
By the definition of scalar multiplication in $\mathbb{F}^n$,

$$\begin{aligned} (ab)x &= ((ab)x_1,(ab)x_2,...,(ab)x_n) \\&= (abx_1,abx_2,...,abx_n), \end{aligned}$$

and

$$(bx) = (bx_1,bx_2,...,bx_n) := y \in \mathbb{F}^n.$$

Then by the associativity of multiplication in the field $\mathbb{F}$, we know that $(ab)x_i = a(bx_i)$ for each $i = 1,2,...,n$. Thus,

$$\begin{aligned} a(bx) &= ay\\ &= (ay_1,ay_2,...,ay_n)\\ &= (a(bx_1),a(bx_2),...,a(bx_n)) \\&= (abx_1,abx_2,...,abx_n) \\&= (ab)x. \end{aligned}$$

1.A.14 Show that $\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y$ for all $\lambda ∈ \mathbb{F}$ and all $x,y ∈ \mathbb{F}^n$.

sol:
By the definition of addition in $\mathbb{F}^n$,

$$x + y = (x_1, ...,x_n) + (y_1,...,y_n) = (x_1 +y_1,...,x_n + y_n).$$

And by the definition of scalar multiplication in $\mathbb{F}^n$,

$$\begin{aligned} \lambda(x + y) = (\lambda(x_1 + y_1), ..., \lambda(x_n + y_n)) &= (\lambda x_1 + \lambda y_1, ..., \lambda x_n + \lambda y_n)\\ &= (\lambda x_1, ..., \lambda x_n) + (\lambda y_1, ..., \lambda y_n)\\ &= \lambda x + \lambda y \end{aligned}$$

1.B.2 Suppose $a ∈ \mathbb{F},v ∈ V$,and $av = 0$. Prove that $a = 0$ or $v = 0$.

sol:
Suppose $a \neq 0$:
Since $a ∈ \mathbb{F}$, $\exists\ a^{-1} \in \mathbb{F}\ s.t.\ a^{-1} \cdot a = 1$.
By the associativity of scalar multiplication, $a^{−1} (av)=(a^{−1} a)v$
Then multiply $a^{-1}$ on both side of equation, \

$$a^{-1} \cdot av = a^{-1} \cdot 0 \ \overset{\text{associativity of scalar multiplication}}\Rightarrow\ 1 \cdot v = 0\ \overset{\text{multiplicative identity}}\Rightarrow\ v = 0$$

Conversely, if we suppose $a = 0$: The equality obviously holds.
Thus, we have shown that if $a \neq 0$, $v = 0$. This is logically equivalent to saying that $a = 0$ or $v = 0$.

1.B.3 Suppose $v,w ∈ V$. Explain why there exists a unique $x ∈ V$ such that $v + 3x = w$.

sol:
Existence:
Since $v \in V$, $\exists\ -v \in V\ s.t.\ v + (-v) = 0$.
Let $x = \frac{1}{3}(w+(− v))$. Then

$$\begin{aligned} v + 3x &= v + 3\left(\frac{1}{3}(w + (-v))\right) \\ &= v + \left(3 \cdot \frac{1}{3}\right)(w + (-v)) \quad \text{(associativity of scalar multiplication)} \\ &= v + 1(w + (-v)) \quad \text{(field arithmetic)} \\ &= v + (w + (-v)) \quad \text{(multiplicative identity)} \\ &= v + ((-v) + w) \quad \text{(commutativity of addition)} \\ &= (v + (-v)) + w \quad \text{(associativity of addition)} \\ &= 0 + w \quad \text{(additive inverse)} \\ &= w \quad \text{(additive identity)} \end{aligned}$$

Thus, such an $x$ exists.

Uniqueness:
Suppose $x_1, x_2 \in V$ both satisfy the equation, meaning:
$v + 3x_1 = w \quad \text{and} \quad v + 3x_2 = w$
Therefore, $v + 3x_1 = v + 3x_2.$
Add $-v$ to both the side (same process as proving the Cancellation Law for Vector Addition):

$$\begin{aligned} -v + v + 3x_1 &= -v + v + 3x_2\\ \Rightarrow 0 + 3x_1 &= 0 + 3x_2\\ \Rightarrow 3x_1 &= 3x_2\\ \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 3x_1 &= \frac{1}{3} \cdot 3x_2\\ \Rightarrow 1 \cdot x_1 &= 1 \cdot x_2\\ \overset{\text{Multiplicative Identity}}\Rightarrow\ x_1 &= x_2 \end{aligned}$$

Thus, the solution is unique.

1.B.4 The empty set is not a vector space. The empty set fails to satisfy only one of the requirements listed in the definition of a vector space (1.20). Which one?

sol:
The additive identity because there isn’t a definition of 0.

This is an existential statement ( ∃ 0 ∈ V , … ).
Since the empty set contains no elements at all, no such element 0 can exist.
Therefore this axiom is false for $V = ∅$.

All other axioms in Definition 1.20 — including:
commutativity, associativity, additive inverse, multiplicative identity, and the distributive properties — are universal statements of the form “for all v ∈ V , …” or “for all u , v ∈ V , … ”.

When $V = ∅$ , these statements are vacuously true, because there are no elements in $V$ that could serve as counterexamples.
In particular, the additive inverse axiom (“for every $v ∈ V$ , there exists $w ∈ V$ such that $v + w = 0$”) is vacuously true:
since there is no $v ∈ ∅$ to check, the condition is satisfied by default. Thus, the additive identity is the only axiom that fails for the empty set.

1.B.5 Show that in the definition of a vector space (1.20), the additive inverse condition can be replaced with the condition that

$$0v = 0\ \text{for all}\ v \in V$$

Here the 0 on the left side is the number 0, and the 0 on the right side is the additive identity of $V$. The phrase a “condition can be replaced” in a definition means that the collection of objects satisfying the definition is unchanged if the original condition is replaced with the new condition.

sol:
Part I: $0v = 0\ \text{for all}\ v \in V\ \Rightarrow\ \forall\ v \in V,\ \exists\ w \in V\ s.t.\ v+w=0$:
Let $v$ be any of the vector in $V$.
Then $(-1)v$ is exactly the additive inverse of $v$. Following is the proof:\

$$\begin{aligned} v + (-1)v &= 1v + (-1)v \quad \text{(multiplicative identity)}\\ &= (1+(-1))v \quad \text{(distributive property)}\\ &= 0v\\ &= 0 \quad (0v = 0\ \text{for all}\ v \in V) \end{aligned}$$

Part II: $0v = 0\ \text{for all}\ v \in V\ \Leftarrow\ \forall\ v \in V,\ \exists\ w \in V\ s.t.\ v+w=0$:
Let $w$ be the additive inverse of $0v$:

$$\begin{aligned} 0v &= (0+0)v\\ 0v &= 0v+0v \quad \text{(distributive property)}\\ 0v + w &= 0v + 0v + w\\ 0v + w &= 0v + (0v + w) \quad \text{(associativity)}\\ 0 &= 0v + 0 \quad \text{(additive inverse)}\\ 0 &= 0v \quad \text{(additive identity)} \end{aligned}$$

Thus $0v = 0\ \text{for all}\ v \in V\ \Leftrightarrow\ \forall\ v \in V,\ \exists\ w \in V\ s.t.\ v+w=0$

---

12. Questions to Carry Forward

• 如何判断一个子集是否为子空间？（下节课：三个条件）
• 子空间的和（sum）与直和（direct sum）如何定义？
• 为什么”更多变量齐次方程必有非零解”可以用向量空间语言证明？